題解:
設 r1 和 r2 分別是 O1 和 O2的半徑,
外切點通過圓心至正方形角落的距離為
(1+√2)r
正方形的對角線長為√2
外切點至左下角的距離+外切點至右上角的距離=對角線長
(1+√2)r1+(1+√2)r2=√2
r1+r2=√21+√2 ,這是(1)的答案
(2)
兩圓面積和=(r21+r22)π
根據柯西不等式(Cauchy–Schwarz inequality)
2(r21+r22)≥(r1+r2)2
(r21+r22)≥(11+√2)2
(r21+r22)≥13+2√2
最小的面積和出現在 r1=r2=r,其中 r 是常數(可從(1)的答案解出,不過不需要)
所以
最小面和 =(r2+r2)π=π3+2√2
原發問人是問我怎用梯度(Gradient)和拉格朗日乘數(Lagrange multiplier)去解,
附上該解法:
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