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2015年10月29日 星期四

[數學] 求在單位正方形中, 內切於正方形兩組鄰邊及互相外切的兩圓形的最小面積和

問題:
(出處:Facebook數學討論群組)




題解:
r1r2 分別是 O1O2的半徑,
外切點通過圓心至正方形角落的距離為
(1+2)r

正方形的對角線長為2

外切點至左下角的距離+外切點至右上角的距離=對角線長
(1+2)r1+(1+2)r2=2
r1+r2=21+2 ,這是(1)的答案

(2)
=(r21+r22)π

根據柯西不等式(Cauchy–Schwarz inequality)
2(r21+r22)(r1+r2)2
(r21+r22)(11+2)2
(r21+r22)13+22

最小的面積和出現在 r1=r2=r,其中 r 是常數(可從(1)的答案解出,不過不需要)
所以
=(r2+r2)π=π3+22


原發問人是問我怎用梯度(Gradient)和拉格朗日乘數(Lagrange multiplier)去解,
附上該解法:

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