[數學] 7的倍數判斷法(連證明)

網上很多人問7的倍數怎判斷，很多人知道方法但不知道怎證明，而且提不出百位數的判斷法，這個問題只要用模除就能很易證明，就結果而言，四位數以上的7的倍數可以這樣判斷：

設有四個數位以上的大數，從個位開始，每三個數位分成一組，最後一組即使不夠三位也自成一組，然後各組梅花間竹地進行加減，所得數如是7的倍數，則該大數為7的倍數。
 
通例：$abcdefg$是否7的倍數？
先將大數從個位開始分成三個數位組，
$a$ | $bcd$ | $efg$
然後從尾至頭梅花間竹地進行加減
$efg-bcd+a$，如此數是7的倍數，則$abcdefg$是7的倍數。

實例：
$6855448572$是否7的倍數？
先將大數從個位開始分成三個數位組，
$6$ | $855$ | $448$ | $572$
然後從尾至頭梅花間竹地進行加減
$572-448+855-6=973$
因為$973=7 \times 139$，所以 $6855448572$是7的倍數
驗算：
$6855448572=7 \times 979349796$

證明：
首先$A$ $mod$ $B$是指$A$除以$B$的餘數。
引用定理
1. $(A+B)$ $mod$ $C = [(A$ $mod$ $C) + (B$ $mod$ $C)]$ $mod$ $C$
2. $(A \times B)$ $mod$ $C = [(A$ $mod$ $C) \times (B$ $mod$ $C)]$ $mod$ $C$
及事實
3. $1000$ $mod$ $7=-1$
對於大數 $abcdefg$，
$abcdefg=a \times 1000 \times 1000 + bcd \times 1000 +efg$
所以$abcdefg$ $mod$ $7$
$= [(a \times 1000 \times 1000)$ $mod$ $7$ $+ (bcd \times 1000)$ $mod$ $7$ $+efg]$  $mod$ $7$
$= [(a \times (-1)\times (-1))$ $mod$ $7$ $+ (bcd \times (-1))$ $mod$ $7$ $+efg]$ $mod$ $7$
$= a-bcd+efg$ $mod$ $7$
$= efg-bcd+a$ $mod$ $7$

如果$abcdefg$是7的倍數，$abcdefg$ $mod$ $7= (efg-bcd+a)$  $mod$ $7=0$



三位數則這樣判斷：
百位數除7的餘數乘2後和百位以內的尾數相加，如答案是7的倍數則該三位數是7的倍數。
通例：$abc$是否7的倍數？
先將$a$除以7，得餘數$r$，百位以內的尾數為$bc$，然後計算
$2r+bc$，如此數是7的倍數，則$abc$是7的倍數。

實例一：
$574$是否7的倍數？
先將$5$除以7，得餘數$5$，百位以內的尾數為$74$，然後計算
$2 \times 5+74=84=7 \times 12$，此數是7的倍數，則$574$是7的倍數。
驗算：
$574=7 \times 82$

實例二：
$826$是否7的倍數？
先將$8$除以7，得餘數$1$，百位以內的尾數為$26$，然後計算
$2 \times 1+26=28=7 \times 4$，此數是7的倍數，則$826$是7的倍數。
驗算：
$826=7 \times 118$

證明(這邊寫簡化點，有點累)：
$abc$ $(mod$ $7)$
$= a \times 100 +bc$ $(mod$ $7)$
$= a$ $mod$ $7$ $\times 100$ $mod$ $7$ $+bc$ $(mod$ $7)$
$= r \times 2 +bc$ $(mod$ $7)$
$= 2r+bc$ $(mod$ $7)$

不過百位數直接除也不難就是了，而且活用減700和減70的話很易就能把數值縮得很小。