[數學] 證明當整數係數多項式f(x)有有理數x=q/p為根時, f(x)/(px+q)也是整係數多項式

最近遇到一位四處向大學教授寄信問數的台灣高中生，他問了我很多大學數學怎算，他會的一些數學方法我也沒看過，感覺真好，有教學相長的感覺。

他問了我一個問題如標題：

出處不明，我的解如下：

根據一次因式檢驗法(Rational root theorem)
$p|a_n=pb_{n-1}→b_{n-1} \in \mathbb{Z}$

其他項則需分析，先展開 $f(x)$：
$f(x)$$\\=(px+q)(b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+...+b_{1}x+b_{0})
\\=(px+q)b_{n-1}x^{n-1}+(px+q)b_{n-2}x^{n-2}+...+(px+q)b_{1}x+(px+q)b_{0}$

設 $g_{i}(x)$$\\= f(x)-(px+q)b_{n-1}x^{n-1}-(px+q)b_{n-2}x^{n-2}-...-(px+q)b_{i+1}x^{i+1}
\\= (px+q)b_{i}x^{i}+(px+q)b_{i-1}x^{i-1}+...+(px+q)b_{1}x+(px+q)b_{0}
\\=pb_{i}x^{i+1}+(pb_{i-1}+qb_{i})x^{i}+...
\\=pb_{i}x^{i+1}+a_{i}x^{i}+...$，$0\leq i \leq n-2$
第二項以後的係數對應 $a_{i} \in \mathbb{Z}$。

設 $b_{i+1}$ 是整數
$a_{i+1}=pb_{i}+qb_{i+1} \in \mathbb{Z}$
則 $pb_{i}=a_{i+1}-qb_{i+1} \in \mathbb{Z}$
$g_{i}(x)$ 的係數為整數。

$g_{i}(x)$ 有因式 $px+q$，
根據一次因式檢驗法(Rational root theorem)
$p|pb_{i}→b_{i} \in \mathbb{Z}$

由 $b_{n-1}$ 為整數，利用數學歸納法可得
$b_{i} \in \mathbb{Z}$, for $0 \leq i \leq n-1$