[數學] 設a>b>c>0, a, b和c屬於整數, (x-c)是f(x)的因式, 其中f(x)=x(x-a)(x-b)-2, 求a+b+c。

問題：設 $a>b>c>0$，a、b和c屬於整數，$(x-c)$ 是 $f(x)$ 的因式，其中 $f(x)=x(x-a)(x-b)-2$，求 $a+b+c$。




題解：

根據餘數定理(Remainder Theorem)
$f(c)=0$
$c(c-a)(c-b)-2=0$
$c(a-c)(b-c)=2$

明顯 $c,(a-c),(b-c)$ 都是正整數，
三個正整數相乘等於 $2$ 的組合只有 ${2,1,1}$

已知 $a>b>c$
所以 $a-c>b-c>0$
可推得
$a-c=2$ 及 $c=b-c=1$
$a=3$ 和 $b=2$

$a+b+c=6$

或者不解出 $a$ 和 $b$，直接求
$a+b+c=a-c+b-c+3c=2+1+3=6$