[數學] 整係數多項式帶入分子涉及平方根的數值的速算法 (餘式定理應用)

學生今傳來兩條問題，這類題目我也沒看過，還沒想到更好的解，現分享如下：

假設沒有計算機... 有的話就不用算了。

設
$f(x)=4x^4-8x^3-15x^2+13x+1$
$a= \frac{3+2\sqrt{2}}{2}$
$b= \frac{3-2\sqrt{2}}{2}$
$4(x-a)(x-b)=4x^2-12x+1$
(對比二次方程的兩根和與兩根積)

以 $4x^2-12x+1$ 除
$4x^4-8x^3-15x^2+13x+1$

長除法：

得餘式 2

根據餘式定理，函數 $f(\frac{3+2\sqrt{2}}{2})=2$。

思考方向：
如果可以建立一個有因數 $x-\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$ 的整係數多項式，
用它整除原式就可把餘式的因次降下來，
而整係數多項式的長除法也相對簡單。

$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$ 類似二次方程的通解,
對比下可設正負開方為兩根，得整係數二次多項式,
用它除原式得一因次最大為1的餘數多項式。

同類題目可用同樣解法：

設
$m=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
$n=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$
$(x-m)(x-n)=x^2-x-1$

以 $x^2-x-1$ 除
$8x^3-16x^2+2x+15$
得餘式 $2x+7$
代入 $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
得解為 $1+\sqrt{5}+7=8+ \sqrt{5}$
所以 $(a, b)=(8, 1)$

對於3以下的因次，這做法其實也沒多快，但對於6次以上的多項式，這方法的速度優勢就很明顯了，畢竟長除法只是整數加減，但 $(a+b\sqrt{c})^n$ 卻要比較沒開開的常數和有關方的係數。

[數學] 設a>b>c>0, a, b和c屬於整數, (x-c)是f(x)的因式, 其中f(x)=x(x-a)(x-b)-2, 求a+b+c。

問題：設 $a>b>c>0$，a、b和c屬於整數，$(x-c)$ 是 $f(x)$ 的因式，其中 $f(x)=x(x-a)(x-b)-2$，求 $a+b+c$。




題解：

根據餘數定理(Remainder Theorem)
$f(c)=0$
$c(c-a)(c-b)-2=0$
$c(a-c)(b-c)=2$

明顯 $c,(a-c),(b-c)$ 都是正整數，
三個正整數相乘等於 $2$ 的組合只有 ${2,1,1}$

已知 $a>b>c$
所以 $a-c>b-c>0$
可推得
$a-c=2$ 及 $c=b-c=1$
$a=3$ 和 $b=2$

$a+b+c=6$

或者不解出 $a$ 和 $b$，直接求
$a+b+c=a-c+b-c+3c=2+1+3=6$