[數學] 若PC平分角APB，證明XY//AB

問題：

題解：

從圖中兩對同色的相似三角形可證得
$\frac{ZX}{ZA}= \frac{ZY}{ZB}$

故
$XY//AB$

[數學] ABCD共圓，AD與BC的延線交於圓外的一點E，BDM為直線，其中MT與圓ABCD相切。若EM//AC，證明MT=ME。

問題：

題解：

Joint $BT$ and $DT$.

Let $MT=a$, $ME=b$, $MD=r$ and $MB=s$

Our aim is to prove $a=b$.

Consider $\triangle BMT$ and $\triangle TMD$,

$\angle BMT= \angle TMB$　　　(commond $\angle$)

$\angle TBM= \angle DTM$　　　($\angle$ in alt. segment)

Thus, $\triangle BMT \sim \triangle TMD$　　　(AA)

By corr. sides $\sim \triangle s$, we have,

$\begin{align*}
\frac{MT}{MD}&=\frac{MB}{MT}\\
\frac{a}{r}&=\frac{s}{a}\\
a&=\sqrt{rs}
\end{align*}$

Consider $\triangle BME$ and $\triangle EMD$,

$\angle BME= \angle EMD$　　　(commond $\angle$)

$\angle MBE= \angle A$　　　($\angle s$ in the same segment)

$\angle A= \angle MED$　　　(alt. $\angle s$, $EM//AC$)

so, $\angle MBE= \angle MED$

Thus, $\triangle BME \sim \triangle EMD$　　　(AA)

By corr. sides $\sim \triangle s$, we have,

$\begin{align*}
\frac{ME}{MD}&=\frac{MB}{ME}\\
\frac{b}{r}&=\frac{s}{b}\\
b&=\sqrt{rs}=a
\end{align*}$

Therefore, $MT=ME$.

$Q.E.D.$

[數學] 某補習社Blog提出的幾何難題

In the figure, AB is a diameter of the circle. OP⊥AB and CD is the perpendicular bisector of OP. Find ∠PBC.
上圖中, AB 為圓的一條直徑, OP⊥AB 而且 CD 為OP 的垂直平分線, 求∠PBC。

某補習社把它說得很難，於是我試著解...... ：

首先加線CP和CO這兩條紅線，因為PE=EO，

所以三角形CPO是等腰三角形，其中CP=CO (等腰三角形性質)，
又由於CO=PO (半徑)，所以三角形CPO三邊相等，它是等邊三角形。

∠POC=60度 (等邊三角形性質)，那麼

$\angle PBC=\frac{1}{2}\angle POC=30^\circ$ (圓心角兩倍於圓周角 / ∠at centre twice ∠ at circumference)

論難度其實不算難，只要想想PE=EO可提供甚麼線索就很易解開了，

這補習社應該請我，我手上的難題庫比這題難的題目多的是呢～


後記：
我出了這個post後一兩星期再回去看看該補習社的blog，他們已經把這"挑戰題"下架了ww