[數學] 設20x^3-21x^2-35x-3之值是3，而24x^3-26x^2-41x-2之值不是4，求x。

看起來雖然不是很像，不過其實這是二次方程！








題解：
$20x^3-21x^2-35x-3=3$
$20x^3-21x^2-35x-6=0$ ...(1)

$24x^3-26x^2-41x-2=4$
$24x^3-26x^2-41x-6=0$ ...(2)

根據題意，表示有些(1)的根不是(2)的根。
如果所有(1)的根都是(2)的根就無解；
如果所有(1)的根都不是(2)的根，
那這題等同在問(1)的所有根，(2)的資料完全沒幫助。

所以合理推測有些(1)的根同時是(2)的根。
先解出同時符合 (1) 和 (2) 的這些根：

這很易解
$6 \times(1)-5 \times(2)$
$4x^2-5x-6=0$
$(4x+3)(x-2)=0$
$x=2$ or $x=-\frac{3}{4}$

再找(1)餘下的根$a$,
可以用長除法，不過既然已有兩根，那根之積(product of roots)會比較快：
$2 \times \frac{-3}{4} \times a= \frac{6}{20}$
$a=- \frac{1}{5}$就是本題所求的根

[數學] 已知方程x^2-11x+(k+30)=0的兩根都比5大，求實數k的取值范圍。(更簡單的解)

題目：已知方程 $x^2-11x+(k+30)=0$ 的兩根都比5大，求實數$k$的取值范圍。
(出處：Facebook 數學問題討論群組)






相信大部分人會這樣解：
http://kantiku.com/math-2375322.htm

在FB上回答的人也是：

在此筆者提供另一個解，用到一個小學有學的定理：
等周定理－－等周界的長方形以正方形的面積最大，長方形兩邊長度差越大，面積越小。

設兩根為 $a$ 和 $b$
$a+b=11$ → $b=11-a$ (兩根和)
$a>5$ and $b=11-a>5$
$5<a<6$

$5 \times 6 < ab \leq ( \frac{5+6}{2})^2 $ (等周定理)
$30<k+30 \leq (\frac{11}{2})^2$ (兩根積)
$0<k \leq \frac{1}{4}$

在運算上簡單很多。

台灣>國小科展專題<也有等周定理的研究，不過從這專題報告只知道在小學有教，不知是幾年級，筆者之前幫小學生補習時也有看到類似的題目。
 
用到等周定理那一步的合理性可從算幾不等式和二次方程的性質得出：
算幾不等式(AM-HM inequality)
$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$
$(\frac{11}{2})^2 \geq ab$

$a(11-a)$是開口向下的二次方程，達到極大值時的 $a$ 從算幾不等式可知是 $\frac{11}{2}$，
$a$ 越是離開這點，$a(11-a)$ 則越小，所以 $a(11-a)$ 的極小值是$5 \times 6$

然後兩根積是 $ab=k+30$

[數學] 一元二次方程 (quadratic equation) 挑戰題

題目：
甲乙兩人用公式解一元二次方程式 $x^2 + bx + c = 0$， 甲錯算 $b^2 - 4c$ 得兩根 $(3, -2)$，乙錯看 $b$ 得兩根 $(-5, 2)$，則原方程式為？
(出自：https://www.ptt.cc/bbs/tutor/M.1263636512.A.D15.html)
[原題是 $x^2 + bx + c = 0$，但這沒意義，三個未知數，兩條式，也就是最少有一個是自由變數(free variable)，不失一般性(WLOG) ，設$a$為$1$]







題解：
兩根和$=-b$
兩根積$=c$
二次方程公式解$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4c}}{2}$

1. 甲算錯 $b^2 - 4c$ 並不影響兩根之和，因為從公式可知在計算兩根和時 $b^2 - 4c$ 這一項會一加一減相消，也就是甲所得到的根可算出正確的兩根和，即
$-b$ $=3-2\\
=1$
$b=-1$

2. 同理，乙錯看 $b$ 並不影響兩根積，即
$c$ $\\=-5 \times 2
\\=-10$

所以原方程為 $x^2 - x - 10 = 0$