[數學] 求在單位正方形中, 內切於正方形兩組鄰邊及互相外切的兩圓形的最小面積和

問題：

(出處：Facebook數學討論群組)




題解：
設 $r_1$ 和 $r_2$ 分別是 $O_1$ 和 $O_2$的半徑，
外切點通過圓心至正方形角落的距離為
$(1+\sqrt{2})r$

正方形的對角線長為$\sqrt{2}$

外切點至左下角的距離+外切點至右上角的距離=對角線長
$(1+\sqrt{2})r_1+(1+\sqrt{2})r_2=\sqrt{2}$
$r_1+r_2=\frac{\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}$ ，這是(1)的答案

(2)
$兩圓面積和=(r_1^2+r_2^2)\pi$

根據柯西不等式(Cauchy–Schwarz inequality)
$2(r_1^2+r_2^2) \geq (r_1+r_2)^2$
$(r_1^2+r_2^2) \geq (\frac{1}{1+\sqrt{2}})^2$
$(r_1^2+r_2^2) \geq \frac{1}{3+2\sqrt{2}}$

最小的面積和出現在 $r_1=r_2=r$，其中 $r$ 是常數(可從(1)的答案解出，不過不需要)
所以
$最小面和$ $\\=(r^2+r^2)\pi
\\=\frac{\pi}{3+2\sqrt{2}}$


原發問人是問我怎用梯度(Gradient)和拉格朗日乘數(Lagrange multiplier)去解，
附上該解法：

[數學] 某補習社Blog提出的幾何難題

In the figure, AB is a diameter of the circle. OP⊥AB and CD is the perpendicular bisector of OP. Find ∠PBC.
上圖中, AB 為圓的一條直徑, OP⊥AB 而且 CD 為OP 的垂直平分線, 求∠PBC。

某補習社把它說得很難，於是我試著解...... ：

首先加線CP和CO這兩條紅線，因為PE=EO，

所以三角形CPO是等腰三角形，其中CP=CO (等腰三角形性質)，
又由於CO=PO (半徑)，所以三角形CPO三邊相等，它是等邊三角形。

∠POC=60度 (等邊三角形性質)，那麼

$\angle PBC=\frac{1}{2}\angle POC=30^\circ$ (圓心角兩倍於圓周角 / ∠at centre twice ∠ at circumference)

論難度其實不算難，只要想想PE=EO可提供甚麼線索就很易解開了，

這補習社應該請我，我手上的難題庫比這題難的題目多的是呢～


後記：
我出了這個post後一兩星期再回去看看該補習社的blog，他們已經把這"挑戰題"下架了ww