[數學] 面積趣題 (限時1分鐘)

問題：上圖中藍色部分的面積還是黃色部分的面積比較大？
(原圖是打橫的，不知怎麼上傳就變成打直了，真怪，不過不影響問題就算了。)
(問題來自https://brilliant.org/)

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答案：一樣大

解：
設最大的圓的面積是4X，
中圓的面積則是X (長度比的平方等於面積比)，
黃色部分面積是Y。
利算排容原理(Inclusion–exclusion principle)可知
藍色部分面積
$\\=大圓-4 \times小圓+黃色部分
\\=4X-4\times X+Y
\\=Y
\\=黃色部分面積$

排容原理在比較深的機率和算組合數的題目中很常用，把這種面積重疊問題想成范氏圖(Venn Diagram)的話就不難理解兩者的關係了。一般兩圖形重疊的情況直接想也想得出怎算，但重疊三次以上的圖就不那麼好想了，引用排容原理能快速解題。

[數學] 三角形重心與面積難題

問題：設三角形$ABC$重心為$G$，已知$GA=6$，$GB=9$，$GC=12$。求三角形$ABC$面積。

題解：

製圖的時間比解題還長(笑

依題意畫出三角形，然後延長$AG$至$E$點，使得$GA=GE=6$。
$GE$與$BC$相交於$D$點，重心$G$落在中線$AD$上，所以$D$為$BC$的中點
$GD:GA=1:2$   [1]
$GD= \frac{1}{2}GA=3$，$DE=GE-GD=3=GD$
所以$D$亦是$GE$的中點，$GE$與$BC$互相平分，
因此四邊形$BECG$為平行四邊形 (對角線互相平分)

考慮平行四邊形$BECG$
$BE=GC=12$ (對邊相等)

考慮三角形$BEG$ (圖中的綠色三角形)
已知$GB=9$，$GE=6$，$BE=12$
利用希羅公式，定義$s=\frac{GB+GE+BE}{2}=\frac{27}{2}$
面積 $\triangle BEG$
$= \sqrt{s(s-GB)(s-GE)(s-BE)}$
$= \sqrt{s(s-9)(s-6)(s-12)}$
$= \sqrt{\frac{10935}{16}}$
$= \frac{27 \sqrt{15}}{4}$

考慮三角形$ABE$，
$AG:GE=1:1$，由於底邊比等於面積比 [2]，
可知 $\triangle ABG=\triangle BEG=\frac{27 \sqrt{15}}{4}$

由於三角形的重心均分三角形的面績 [3]
所以
$\triangle ABC=3\triangle ABG=3 \frac{27 \sqrt{15}}{4}=\frac{81 \sqrt{15}}{4}$

$\triangle ABC$的面積大約為78.4279。



註解：
[1] 請參考課本重心與中線的章節，或查看可汗學院的>>這個教學(英文)<<
[2] 請參考我之前的文章>>等高三角形的面積比等於底邊比及應用<<
[3] 證明請參考>>這個教學(普通話)<<