[數學] 一元二次方程 (quadratic equation) 挑戰題

題目：
甲乙兩人用公式解一元二次方程式 $x^2 + bx + c = 0$， 甲錯算 $b^2 - 4c$ 得兩根 $(3, -2)$，乙錯看 $b$ 得兩根 $(-5, 2)$，則原方程式為？
(出自：https://www.ptt.cc/bbs/tutor/M.1263636512.A.D15.html)
[原題是 $x^2 + bx + c = 0$，但這沒意義，三個未知數，兩條式，也就是最少有一個是自由變數(free variable)，不失一般性(WLOG) ，設$a$為$1$]







題解：
兩根和$=-b$
兩根積$=c$
二次方程公式解$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4c}}{2}$

1. 甲算錯 $b^2 - 4c$ 並不影響兩根之和，因為從公式可知在計算兩根和時 $b^2 - 4c$ 這一項會一加一減相消，也就是甲所得到的根可算出正確的兩根和，即
$-b$ $=3-2\\
=1$
$b=-1$

2. 同理，乙錯看 $b$ 並不影響兩根積，即
$c$ $\\=-5 \times 2
\\=-10$

所以原方程為 $x^2 - x - 10 = 0$