[數學] 抽球挑戰題(概率)

問題：袋中有2個紅球，3個白球和4個黑球，如每次在袋中抽出一球並不把球放回袋中，紅球先抽完的機率是多少？
(出處忘了，前幾天看到的，但尾指指根關節發炎所以沒發文，還在痛)

剛看到題目的時候沒甚麼頭緒，現在也是，想不到簡明的方法，總之先把我的解法給大家看一下吧：




解：
以R表示紅球，W表示白球，B表示黑球，
把問題轉換成把9球並列，從左算起，兩個R出現在第3個W和第4個B前，
例如
R W W B B B R W B
R W B R W W B B B

設F(n)是符合題目條件，而最後一個R在第n個位置的組合數，
T是9球隨便排列的組合數

$T=9!=362880$

n只可能是2, 3, 4, 5, 6或7，

F(2)表示球以以下方式排列(X表示在第2個R後的球)：
R R X X X X X X X
$F(2)=2!7!=10080$

F(3)表示球以以下方式排列(Y表示在第2個R前非R的球)：
R Y R X X X X X X
Y R R X X X X X X
$F(3)=2!2!6! \times (C^{3}_{1}+C^{4}_{1})=20160$

F(4)表示球以以下方式排列：
R Y Y R X X X X X
...
$F(4)=2!3!5! \times (C^{3}_{2}+C^{3}_{1}C^{4}_{1}+C^{4}_{2})=30240$

F(5)表示球以以下方式排列：
R Y Y Y R X X X X
...
$F(5)=2!4!4! \times (C^{3}_{2}C^{4}_{1}+C^{3}_{1}C^{4}_{2}+C^{4}_{3})=39168$

F(6)表示球以以下方式排列：
R Y Y Y Y R X X X
...
$F(6)=2!5!3! \times (C^{3}_{2}C^{4}_{2}+C^{3}_{1}C^{4}_{3})=43200$

F(7)表示球以以下方式排列：
R Y Y Y Y Y R X X
...
$F(6)=2!6!2! \times (C^{3}_{2}C^{4}_{3})=34560$

所以
$P(先抽完紅色)$$\\ =\frac{F(2)+F(3)+F(4)+F(5)+F(6)+F(7)}{T}
\\ =\frac{177408}{362880}
\\ =\frac{22}{45}$

如果有更好的解法請告訴我。

[數學] 面積趣題 (限時1分鐘)

問題：上圖中藍色部分的面積還是黃色部分的面積比較大？
(原圖是打橫的，不知怎麼上傳就變成打直了，真怪，不過不影響問題就算了。)
(問題來自https://brilliant.org/)

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答案：一樣大

解：
設最大的圓的面積是4X，
中圓的面積則是X (長度比的平方等於面積比)，
黃色部分面積是Y。
利算排容原理(Inclusion–exclusion principle)可知
藍色部分面積
$\\=大圓-4 \times小圓+黃色部分
\\=4X-4\times X+Y
\\=Y
\\=黃色部分面積$

排容原理在比較深的機率和算組合數的題目中很常用，把這種面積重疊問題想成范氏圖(Venn Diagram)的話就不難理解兩者的關係了。一般兩圖形重疊的情況直接想也想得出怎算，但重疊三次以上的圖就不那麼好想了，引用排容原理能快速解題。