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2015年11月4日 星期三

[數學] (x^2+3x+1)(x^2+3x+2)+3x^2+9x+2的最小值

問題:求 (x2+3x+1)(x2+3x+2)+3x2+9x+2 的最小值。

剛剛學生傳來問我的,這是嵌套的配方法(Completing the square)題目。
通常看到題中的幾個多項式有大部分係數重覆時,就想想可不可以用另一個代數例如u去取代重覆的部分,然後化簡成平常在解的標準例題形式。

例如本題可這樣解:
(x2+3x+1)(x2+3x+2)+3x2+9x+2
=(x2+3x+21)(x2+3x+2)+3(x2+3x+2)4
=u(u1)+3u4, sub. u=x2+3x+2
=u2+2u4
(u+1)25, 配方法

這個的最小值就出現在 |u+1| 達到最小時,
u+1
=x2+3x+3
=(x+3/2)2+3/4
很明顯 u+1 的最小值是 34 出現在 x=32
要注意,如果 u+1 的最小值小於 0,則 |u+1| 的最小值取 0

(u+1)25 的最小值
=(34)25
=9165
=7116

所以 (x2+3x+1)(x2+3x+2)+3x2+9x+2 的最小值為 7116,出現在 x=32

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