[數學] (x^2+3x+1)(x^2+3x+2)+3x^2+9x+2的最小值

問題：求 $(x^2+3x+1)(x^2+3x+2)+3x^2+9x+2$ 的最小值。

剛剛學生傳來問我的，這是嵌套的配方法(Completing the square)題目。
通常看到題中的幾個多項式有大部分係數重覆時，就想想可不可以用另一個代數例如u去取代重覆的部分，然後化簡成平常在解的標準例題形式。

例如本題可這樣解：
$(x^2+3x+1)(x^2+3x+2)+3x^2+9x+2$
$=(x^2+3x+2-1)(x^2+3x+2)+3(x^2+3x+2)-4$
$=u(u-1)+3u-4$, sub. $u=x^2+3x+2$
$=u^2+2u-4$
$(u+1)^2-5$, 配方法

這個的最小值就出現在 $|u+1|$ 達到最小時，
$u+1$
$=x^2+3x+3$
$=(x+3/2)^2+3/4$
很明顯 $u+1$ 的最小值是 $\frac{3}{4}$ 出現在 $x=- \frac{3}{2}$，
要注意，如果 $u+1$ 的最小值小於 $0$，則 $|u+1| $ 的最小值取 $0$。

$(u+1)^2-5$ 的最小值
$=(\frac{3}{4})^2-5$
$=\frac{9}{16}-5$
$=-\frac{71}{16}$

所以 $(x^2+3x+1)(x^2+3x+2)+3x^2+9x+2$ 的最小值為 $-\frac{71}{16}$，出現在 $x=- \frac{3}{2}$。