學生今傳來兩條問題,這類題目我也沒看過,還沒想到更好的解,現分享如下:
假設沒有計算機... 有的話就不用算了。
設
f(x)=4x4−8x3−15x2+13x+1
a=3+2√22
b=3−2√22
4(x−a)(x−b)=4x2−12x+1
(對比二次方程的兩根和與兩根積)
以 4x2−12x+1 除
4x4−8x3−15x2+13x+1
長除法:
得餘式 2
根據餘式定理,函數 f(3+2√22)=2。
思考方向:
如果可以建立一個有因數 x−3+2√22 的整係數多項式,
用它整除原式就可把餘式的因次降下來,
而整係數多項式的長除法也相對簡單。
3+2√22 類似二次方程的通解,
對比下可設正負開方為兩根,得整係數二次多項式,
用它除原式得一因次最大為1的餘數多項式。
同類題目可用同樣解法:
設
m=1+√52
n=1−√52
(x−m)(x−n)=x2−x−1
以 x2−x−1 除
8x3−16x2+2x+15
得餘式 2x+7
代入 x=1+√52
得解為 1+√5+7=8+√5
所以 (a,b)=(8,1)
對於3以下的因次,這做法其實也沒多快,但對於6次以上的多項式,這方法的速度優勢就很明顯了,畢竟長除法只是整數加減,但 (a+b√c)n 卻要比較沒開開的常數和有關方的係數。
2015年11月5日 星期四
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