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2015年11月5日 星期四

[數學] 整係數多項式帶入分子涉及平方根的數值的速算法 (餘式定理應用)

學生今傳來兩條問題,這類題目我也沒看過,還沒想到更好的解,現分享如下:


假設沒有計算機... 有的話就不用算了。


f(x)=4x48x315x2+13x+1
a=3+222
b=3222
4(xa)(xb)=4x212x+1
(對比二次方程的兩根和與兩根積)

4x212x+1
4x48x315x2+13x+1

長除法:

得餘式 2

根據餘式定理,函數 f(3+222)=2

思考方向:
如果可以建立一個有因數 x3+222 的整係數多項式,
用它整除原式就可把餘式的因次降下來,
而整係數多項式的長除法也相對簡單。

3+222 類似二次方程的通解,
對比下可設正負開方為兩根,得整係數二次多項式,
用它除原式得一因次最大為1的餘數多項式。

同類題目可用同樣解法:


m=1+52
n=152
(xm)(xn)=x2x1

x2x1
8x316x2+2x+15
得餘式 2x+7
代入 x=1+52
得解為 1+5+7=8+5
所以 (a,b)=(8,1)

對於3以下的因次,這做法其實也沒多快,但對於6次以上的多項式,這方法的速度優勢就很明顯了,畢竟長除法只是整數加減,但 (a+bc)n 卻要比較沒開開的常數和有關方的係數。

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