[數學] 2012 HKDSE MATHS MC 42題 真正秒解

先說說2013年 MC 42題，
Find the range of values of $k$ such that the circle $x^2+y^2+2x-2y-7=0$ and the straight line $3x-4y+k=0$ intersect.

$A.$ $-8<k<22$
$B.$ $-8 \leq k \leq 22$
$C.$ $k<-22$ or $k>8$
$D.$ $k \leq -22$ or $k \geq 8$

k夾在某範圍，可交於一點，必是
$a \leq k \leq b$ 這種形式，B是答案。


而2012年MC42題，在學校沒有教的數學有說明詳解，但他說沒有真正的秒解，所以我這邊就給一個真正的秒解給大家。(這題好像因為命中率低而很紅，網上看到一些補習班數學講座找狀元講解這題)

問題是這樣的：
求 $k$ 值的範圍使得 $x^2+y^2+2x-4y-13=0$ 與直線 $x-y+k=0$ 相交於兩相異點。

$A.$ $-9 < k < 3$
$B.$ $-3 < k < 9$
$C.$ $k<-9$ 或 $k>3$
$D.$ $k < -3$ 或 $k > 9$

有交點，但不能只交於一點，所以必是
$a < k < b$ 這種形式。

圓方程 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$中，
圓心座標為：$(- \frac{D}{2}, - \frac{E}{2})=(- 1, 2)$

直線方程 $y=mx+c$ 的 $c$ 決定的是線所在的高度，
而圓是對稱的，兩切線中間的平行線必通過圓心，
即對於 $a < k < b$，中間的平行線的 $k$ 值為 $\frac{a+b}{2}$，
所以
$-1-2+\frac{a+b}{2}=0$
$\frac{a+b}{2}=3$

然後很明顯 $\frac{-3+9}{2}=3$
答案是B，不需要二次方程，不需要判別式，
對這題的圖形的圖象有清晰的概念就能解了。



而如果是長題目要找出 $k$ 的上下限，也可以從圖象入手，
我就懶畫了，有興趣請自繪：

圓方程 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$中，
圓心座標 $(m, n)$ 為：$(- \frac{D}{2}, - \frac{E}{2})=(- 1, 2)$
半徑 $r$ 為 $\frac{1}{2}\sqrt{D^2+E^2-4F}=\frac{1}{2}\sqrt{2^2+4^2-4(-13)}=3\sqrt{2}$

直線 $x-y+k=0$ 的斜率 $s$為 $1$，

考慮三圓心、切點，通過圓心的垂線與切線的交點三者形成的角形，
可知上下限為 $(n-m) \pm \frac{r}{ \sin( \tan^{-1}s)}$，較大的就是上限，較小的是下限。
(這不是通解公式，直線方程我沒用通式，通解請自行推導)

代入可得：
$a$ $\\=(2+1) - \frac{3 \sqrt{2}}{ \sin ( \tan ^{-1}1)} \\ =3 - \frac{3 \sqrt{2} }{ \sin (45^{ \circ})} \\ =3 - \frac{3 \sqrt{2} }{ \frac{1}{ \sqrt{2}}} \\ =3 - 3 \times 2\\ =-3$



$b$ $\\=(2+1) + \frac{3 \sqrt{2}}{ \sin ( \tan ^{-1}1)} \\ =3 + 3 \times 2 \\ =9$