[數學] 指定期數的分期付款公式

剛剛看到一篇一位補習老師寫的關於分期付款的文章。關於分期付款的介紹請直接到那邊看吧，寫得夠清楚了。但他最後說這不是casio計算機能解的問題，筆者就不太同意了。之前筆者弄過一個[資源/Excel] 貸款供款計算表，裡面用來計算每月供款的公式求法以DSE的課程知識足以求得，而且也是casio能計算的數字。

首先設第 $i$ 期尚欠貸款為 $P_i$ ，$0 \leq i \leq n$，借貸為$P_0$，$P_n=0$
月供 $x$ 元，月利率為 $r$ (即年利率/12)， $n$ 為還款期數。

每月的尚欠貸款為上一月的尚欠貸款加上利息再扣除供款：
$P_i=(1+r)P_{i-1}-x$

反覆迭代可得
$P_n=(1+r)^2P_{n-2}-x-x(1+r)$
$P_n=(1+r)^3P_{n-3}-x-x(1+r)-x(1+r)^2$
...
$P_n=(1+r)^nP_0-x(1+(1+r)+(1+r)^2+...+(1+r)^{n-1})$

後面的是等比數列，用DSE教的等比數列和公式可化簡
$P_n=(1+r)^nP_0-x(\frac{(1+r)^{n}-1}{r})$

左方是0，將 $x$ 轉為主項
$x(\frac{(1+r)^{n}-1}{r})=(1+r)^nP_0$
$x=\frac{r(1+r)^n}{(1+r)^{n}-1} P_0$
 
以該文用的例子來驗算

借貸$=1 200 000$
月利率$= \frac{1.20 \%}{12}=0.001$
還款期數$=20 \times 12=240$
每月供款就會是
$=\frac{0.001(1+0.001)^240}{(1+0.001)^{240}-1} \times 1200000$
$=5626.46$

「每一個數字都不是CASIO這種計算機所能計到」？
上面用的的技巧全都是DSE所需，
迭代考細心
比數列和公式要背
轉換主項中一就學了
最後按計算機應該沒多難吧，CASIO十年前就出了的
可在屏幕編輯算式的計算機很輕鬆就能算出答案了。