[數學] 求在單位正方形中, 內切於正方形兩組鄰邊及互相外切的兩圓形的最小面積和

問題：

(出處：Facebook數學討論群組)




題解：
設 $r_1$ 和 $r_2$ 分別是 $O_1$ 和 $O_2$的半徑，
外切點通過圓心至正方形角落的距離為
$(1+\sqrt{2})r$

正方形的對角線長為$\sqrt{2}$

外切點至左下角的距離+外切點至右上角的距離=對角線長
$(1+\sqrt{2})r_1+(1+\sqrt{2})r_2=\sqrt{2}$
$r_1+r_2=\frac{\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}$ ，這是(1)的答案

(2)
$兩圓面積和=(r_1^2+r_2^2)\pi$

根據柯西不等式(Cauchy–Schwarz inequality)
$2(r_1^2+r_2^2) \geq (r_1+r_2)^2$
$(r_1^2+r_2^2) \geq (\frac{1}{1+\sqrt{2}})^2$
$(r_1^2+r_2^2) \geq \frac{1}{3+2\sqrt{2}}$

最小的面積和出現在 $r_1=r_2=r$，其中 $r$ 是常數(可從(1)的答案解出，不過不需要)
所以
$最小面和$ $\\=(r^2+r^2)\pi \\=\frac{\pi}{3+2\sqrt{2}}$


原發問人是問我怎用梯度(Gradient)和拉格朗日乘數(Lagrange multiplier)去解，
附上該解法：

[數學] 設a>b>c>0, a, b和c屬於整數, (x-c)是f(x)的因式, 其中f(x)=x(x-a)(x-b)-2, 求a+b+c。

問題：設 $a>b>c>0$，a、b和c屬於整數，$(x-c)$ 是 $f(x)$ 的因式，其中 $f(x)=x(x-a)(x-b)-2$，求 $a+b+c$。




題解：

根據餘數定理(Remainder Theorem)
$f(c)=0$
$c(c-a)(c-b)-2=0$
$c(a-c)(b-c)=2$

明顯 $c,(a-c),(b-c)$ 都是正整數，
三個正整數相乘等於 $2$ 的組合只有 ${2,1,1}$

已知 $a>b>c$
所以 $a-c>b-c>0$
可推得
$a-c=2$ 及 $c=b-c=1$
$a=3$ 和 $b=2$

$a+b+c=6$

或者不解出 $a$ 和 $b$，直接求
$a+b+c=a-c+b-c+3c=2+1+3=6$

[數學] 已知方程x^2-11x+(k+30)=0的兩根都比5大，求實數k的取值范圍。(更簡單的解)

題目：已知方程 $x^2-11x+(k+30)=0$ 的兩根都比5大，求實數$k$的取值范圍。
(出處：Facebook 數學問題討論群組)






相信大部分人會這樣解：
http://kantiku.com/math-2375322.htm

在FB上回答的人也是：

在此筆者提供另一個解，用到一個小學有學的定理：
等周定理－－等周界的長方形以正方形的面積最大，長方形兩邊長度差越大，面積越小。

設兩根為 $a$ 和 $b$
$a+b=11$ → $b=11-a$ (兩根和)
$a>5$ and $b=11-a>5$
$5<a<6$

$5 \times 6 < ab \leq ( \frac{5+6}{2})^2$ (等周定理)
$30<k+30 \leq (\frac{11}{2})^2$ (兩根積)
$0<k \leq \frac{1}{4}$

在運算上簡單很多。

台灣>國小科展專題<也有等周定理的研究，不過從這專題報告只知道在小學有教，不知是幾年級，筆者之前幫小學生補習時也有看到類似的題目。
 
用到等周定理那一步的合理性可從算幾不等式和二次方程的性質得出：
算幾不等式(AM-HM inequality)
$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$
$(\frac{11}{2})^2 \geq ab$

$a(11-a)$是開口向下的二次方程，達到極大值時的 $a$ 從算幾不等式可知是 $\frac{11}{2}$，
$a$ 越是離開這點，$a(11-a)$ 則越小，所以 $a(11-a)$ 的極小值是$5 \times 6$

然後兩根積是 $ab=k+30$

[數學] 證明當整數係數多項式f(x)有有理數x=q/p為根時, f(x)/(px+q)也是整係數多項式

最近遇到一位四處向大學教授寄信問數的台灣高中生，他問了我很多大學數學怎算，他會的一些數學方法我也沒看過，感覺真好，有教學相長的感覺。

他問了我一個問題如標題：

出處不明，我的解如下：

根據一次因式檢驗法(Rational root theorem)
$p|a_n=pb_{n-1}→b_{n-1} \in \mathbb{Z}$

其他項則需分析，先展開 $f(x)$：
$f(x)$$\\=(px+q)(b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+...+b_{1}x+b_{0}) \\=(px+q)b_{n-1}x^{n-1}+(px+q)b_{n-2}x^{n-2}+...+(px+q)b_{1}x+(px+q)b_{0}$

設 $g_{i}(x)$$\\= f(x)-(px+q)b_{n-1}x^{n-1}-(px+q)b_{n-2}x^{n-2}-...-(px+q)b_{i+1}x^{i+1} \\= (px+q)b_{i}x^{i}+(px+q)b_{i-1}x^{i-1}+...+(px+q)b_{1}x+(px+q)b_{0} \\=pb_{i}x^{i+1}+(pb_{i-1}+qb_{i})x^{i}+... \\=pb_{i}x^{i+1}+a_{i}x^{i}+...$，$0\leq i \leq n-2$
第二項以後的係數對應 $a_{i} \in \mathbb{Z}$。

設 $b_{i+1}$ 是整數
$a_{i+1}=pb_{i}+qb_{i+1} \in \mathbb{Z}$
則 $pb_{i}=a_{i+1}-qb_{i+1} \in \mathbb{Z}$
$g_{i}(x)$ 的係數為整數。

$g_{i}(x)$ 有因式 $px+q$，
根據一次因式檢驗法(Rational root theorem)
$p|pb_{i}→b_{i} \in \mathbb{Z}$

由 $b_{n-1}$ 為整數，利用數學歸納法可得
$b_{i} \in \mathbb{Z}$, for $0 \leq i \leq n-1$

[數學] 抽球挑戰題(概率)

問題：袋中有2個紅球，3個白球和4個黑球，如每次在袋中抽出一球並不把球放回袋中，紅球先抽完的機率是多少？
(出處忘了，前幾天看到的，但尾指指根關節發炎所以沒發文，還在痛)

剛看到題目的時候沒甚麼頭緒，現在也是，想不到簡明的方法，總之先把我的解法給大家看一下吧：




解：
以R表示紅球，W表示白球，B表示黑球，
把問題轉換成把9球並列，從左算起，兩個R出現在第3個W和第4個B前，
例如
R W W B B B R W B
R W B R W W B B B

設F(n)是符合題目條件，而最後一個R在第n個位置的組合數，
T是9球隨便排列的組合數

$T=9!=362880$

n只可能是2, 3, 4, 5, 6或7，

F(2)表示球以以下方式排列(X表示在第2個R後的球)：
R R X X X X X X X
$F(2)=2!7!=10080$

F(3)表示球以以下方式排列(Y表示在第2個R前非R的球)：
R Y R X X X X X X
Y R R X X X X X X
$F(3)=2!2!6! \times (C^{3}_{1}+C^{4}_{1})=20160$

F(4)表示球以以下方式排列：
R Y Y R X X X X X
...
$F(4)=2!3!5! \times (C^{3}_{2}+C^{3}_{1}C^{4}_{1}+C^{4}_{2})=30240$

F(5)表示球以以下方式排列：
R Y Y Y R X X X X
...
$F(5)=2!4!4! \times (C^{3}_{2}C^{4}_{1}+C^{3}_{1}C^{4}_{2}+C^{4}_{3})=39168$

F(6)表示球以以下方式排列：
R Y Y Y Y R X X X
...
$F(6)=2!5!3! \times (C^{3}_{2}C^{4}_{2}+C^{3}_{1}C^{4}_{3})=43200$

F(7)表示球以以下方式排列：
R Y Y Y Y Y R X X
...
$F(6)=2!6!2! \times (C^{3}_{2}C^{4}_{3})=34560$

所以
$P(先抽完紅色)$$\\ =\frac{F(2)+F(3)+F(4)+F(5)+F(6)+F(7)}{T} \\ =\frac{177408}{362880} \\ =\frac{22}{45}$

如果有更好的解法請告訴我。

[數學] 一元二次方程 (quadratic equation) 挑戰題

題目：
甲乙兩人用公式解一元二次方程式 $x^2 + bx + c = 0$， 甲錯算 $b^2 - 4c$ 得兩根 $(3, -2)$，乙錯看 $b$ 得兩根 $(-5, 2)$，則原方程式為？
(出自：https://www.ptt.cc/bbs/tutor/M.1263636512.A.D15.html)
[原題是 $x^2 + bx + c = 0$，但這沒意義，三個未知數，兩條式，也就是最少有一個是自由變數(free variable)，不失一般性(WLOG) ，設$a$為$1$]







題解：
兩根和$=-b$
兩根積$=c$
二次方程公式解$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4c}}{2}$

1. 甲算錯 $b^2 - 4c$ 並不影響兩根之和，因為從公式可知在計算兩根和時 $b^2 - 4c$ 這一項會一加一減相消，也就是甲所得到的根可算出正確的兩根和，即
$-b$ $=3-2\\ =1$
$b=-1$

2. 同理，乙錯看 $b$ 並不影響兩根積，即
$c$ $\\=-5 \times 2 \\=-10$

所以原方程為 $x^2 - x - 10 = 0$

[數學] 面積趣題 (限時1分鐘)

問題：上圖中藍色部分的面積還是黃色部分的面積比較大？
(原圖是打橫的，不知怎麼上傳就變成打直了，真怪，不過不影響問題就算了。)
(問題來自https://brilliant.org/)

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答案：一樣大

解：
設最大的圓的面積是4X，
中圓的面積則是X (長度比的平方等於面積比)，
黃色部分面積是Y。
利算排容原理(Inclusion–exclusion principle)可知
藍色部分面積
$\\=大圓-4 \times小圓+黃色部分 \\=4X-4\times X+Y \\=Y \\=黃色部分面積$

排容原理在比較深的機率和算組合數的題目中很常用，把這種面積重疊問題想成范氏圖(Venn Diagram)的話就不難理解兩者的關係了。一般兩圖形重疊的情況直接想也想得出怎算，但重疊三次以上的圖就不那麼好想了，引用排容原理能快速解題。

[科學] 植物會痛嗎?

Do plants feel pain?

重點整理：
1. 切開植物所散發的氣味，像剪草的草青味，是來自植物受到威脅(感到恐懼)時的化學反應(防衛機制)。
2. 不同植物有不同的反應，甚至會有通過這些反應通知同伴和拯救同伴的行為。例如一些植物受攻擊時，它會放出一些化學物質(氣體)，接收到這些物質的同種植物也會作出相同的反應。
3. 這些化學物質效果各異，有些可令攻擊者中毒，有些可吸引具攻擊性的昆蟲過來以驅趕攻擊者。例如植物會釋出咖啡因吸引蜜蜂保護自己。
4. 德國波昂大學的研究指出植物放出氣體並發出一些人類無法聽見的聲音的行為等同人類的哭泣。當花、草青瓜受傷時會有這些反應。而美國密蘇里大學的研究進一步指出，當在植物前播放毛蟲吃它的同類的聲音，它們也會"哭泣"，表示植物有分辨、認知同伴慘遭毒手的能力。
5. 植物縱然沒腦，但也有智能的表現，例如改變生長的方向繞過障礙物；在受到昆蟲襲擊時通知同伴等。
6. 通過追蹤含放射性碳元素的肥料的粒子流向，研究員發現樹木會和30平方米內的其他樹形成互相溝通的網絡，並利用它們的根把養份輸送到幼小的樹木，直至它長得夠高，能進行光合作用為止。(可比擬人類育嬰)

個人感想：
沒有生物傾向追求死亡，所有生物都為了生存而努力，一些總是以素食者自居，高高在上地批評其他人食肉殘忍的時候，只不過是他們無視了植物的叫聲，或者冤枉植物沒有痛覺，既然要選擇性無視植物的想法，那何不乾脆點，君子遠刨廚就好了吧。

[程式/Python] 俄羅斯方塊 Tetris

之前在Codecademy看完了python的課程後，想看看自己理解了多少，於是找了MIT的Python Course的功課和Project來做，這幾天沒發文就是去寫程式了，目前己完成所有Project。

其中一個我覺得很有趣的是自製 俄羅斯方塊 遊戲，我把它打包成執行檔了，載點如下：
>>俄羅斯方塊 下載<<

下載 俄羅斯方塊.rar 後，解壓縮並運行tetris.exe進行遊戲，其中會出現一個黑色畫面不用理會，玩完後關了它就好。

控制：
←↓→：移動方塊
↑：轉動方塊
空白鍵：直接落下

當遊戲進行到後期，畫面更新速度會加快，然後就會不定期出現一些Bug來阻礙大家遊玩∠( ᐛ 」∠)_，有發現的話請幫忙回報，我能處理的都會處理。(不過很多不是我的code有問題，似乎是Graphics Module的問題，這個我沒法處理)

完成這些Project的難點是Template都是用Python2寫的，我要把它改寫成Python3的格式，畢竟我也是一個月前第一次接觸Python，2和3的分別寫在不太熟識，結果很多時間花在翻譯code。

另外我也有完成 康威生命遊戲 ，不過這個好像沒那麼有趣所以不貼了。

遊戲畫面：

[數學] 7的倍數判斷法(連證明)

網上很多人問7的倍數怎判斷，很多人知道方法但不知道怎證明，而且提不出百位數的判斷法，這個問題只要用模除就能很易證明，就結果而言，四位數以上的7的倍數可以這樣判斷：

設有四個數位以上的大數，從個位開始，每三個數位分成一組，最後一組即使不夠三位也自成一組，然後各組梅花間竹地進行加減，所得數如是7的倍數，則該大數為7的倍數。
 
通例：$abcdefg$是否7的倍數？
先將大數從個位開始分成三個數位組，
$a$ | $bcd$ | $efg$
然後從尾至頭梅花間竹地進行加減
$efg-bcd+a$，如此數是7的倍數，則$abcdefg$是7的倍數。

實例：
$6855448572$是否7的倍數？
先將大數從個位開始分成三個數位組，
$6$ | $855$ | $448$ | $572$
然後從尾至頭梅花間竹地進行加減
$572-448+855-6=973$
因為$973=7 \times 139$，所以 $6855448572$是7的倍數
驗算：
$6855448572=7 \times 979349796$

證明：
首先$A$ $mod$ $B$是指$A$除以$B$的餘數。
引用定理
1. $(A+B)$ $mod$ $C = [(A$ $mod$ $C) + (B$ $mod$ $C)]$ $mod$ $C$
2. $(A \times B)$ $mod$ $C = [(A$ $mod$ $C) \times (B$ $mod$ $C)]$ $mod$ $C$
及事實
3. $1000$ $mod$ $7=-1$
對於大數 $abcdefg$，
$abcdefg=a \times 1000 \times 1000 + bcd \times 1000 +efg$
所以$abcdefg$ $mod$ $7$
$= [(a \times 1000 \times 1000)$ $mod$ $7$ $+ (bcd \times 1000)$ $mod$ $7$ $+efg]$  $mod$ $7$
$= [(a \times (-1)\times (-1))$ $mod$ $7$ $+ (bcd \times (-1))$ $mod$ $7$ $+efg]$ $mod$ $7$
$= a-bcd+efg$ $mod$ $7$
$= efg-bcd+a$ $mod$ $7$

如果$abcdefg$是7的倍數，$abcdefg$ $mod$ $7= (efg-bcd+a)$  $mod$ $7=0$



三位數則這樣判斷：
百位數除7的餘數乘2後和百位以內的尾數相加，如答案是7的倍數則該三位數是7的倍數。
通例：$abc$是否7的倍數？
先將$a$除以7，得餘數$r$，百位以內的尾數為$bc$，然後計算
$2r+bc$，如此數是7的倍數，則$abc$是7的倍數。

實例一：
$574$是否7的倍數？
先將$5$除以7，得餘數$5$，百位以內的尾數為$74$，然後計算
$2 \times 5+74=84=7 \times 12$，此數是7的倍數，則$574$是7的倍數。
驗算：
$574=7 \times 82$

實例二：
$826$是否7的倍數？
先將$8$除以7，得餘數$1$，百位以內的尾數為$26$，然後計算
$2 \times 1+26=28=7 \times 4$，此數是7的倍數，則$826$是7的倍數。
驗算：
$826=7 \times 118$

證明(這邊寫簡化點，有點累)：
$abc$ $(mod$ $7)$
$= a \times 100 +bc$ $(mod$ $7)$
$= a$ $mod$ $7$ $\times 100$ $mod$ $7$ $+bc$ $(mod$ $7)$
$= r \times 2 +bc$ $(mod$ $7)$
$= 2r+bc$ $(mod$ $7)$

不過百位數直接除也不難就是了，而且活用減700和減70的話很易就能把數值縮得很小。

[感想] 當北京的藍天被毒霧籠罩，香港用煙火遮蓋藍天

北京的日常

香港節日煙花

國慶本是該高慶的日子，但放煙花除了該死之外真不知有甚麼好處。

據悉今天國慶煙花浪費了八百萬公帑，也就是如果拿出來派的話，香港每人可收萬多元，大約就是香港人收入中位數左右，等於一半香港人的一個月花紅，這煙花一燒就等於燒了你一萬幾千。香港的行政長官等政要有一堆民生問題未解決，卻排排座浪費寶貴的時間在看煙花，而且還在收人工，你說該不該死？

錢是小事，健康是大事。高中化學就有教到火焰的顏色是和元素有關，而且那些無一不是金屬，而燒得不管完不完全，都會留下大量懸浮粒子危害健康。美國的環保局也建議老人、小朋友和有心臟病、肺病的人不要在下風位看煙花，而那些懸浮粒子還可維持在空中半天至一天 [1]。(不過誰能預知當日風向呢？) 也就是這些粒子的確有害健康。在北京，乾淨的空氣買少見少；在香港，政府帶頭跟進北京，不是科研或經濟方面，而是空氣污染，你說該不該死？

一年365日，吸幾天煙對健康也沒多大影響，但為了看煙花而賠上命的話，似乎更是問題了。香港的南丫四號，富士まつり2015意外，還有煙花廠爆炸之類的事故已不是第一次發生，玩火藥自然有其風險，而根據大數法則，玩的人夠多就一定會出人命，到底要慶祝甚麼這麼重要，重要到人命都要奉上？或者有些人反駁說：進食也有風險，吃的人夠多就會有人噎死，難道要因噎廢食？問題是人要存活就不得不吃東西，可是到底有甚麼大事，大得就算有機會死人也不得不放煙花？支持放煙花的人(有需求就有市場)，等同間接殺死所有和煙花有關的意外喪生者，你說該不該死？

代替放煙花的活動可以有很多，為何人們堅持要為了看那一瞬的火光，浪費大量時間、金錢，賠上人命、健康在這種毫無建樹的事情上？



註：
[1] http://time.com/3943702/fourth-of-july-fireworks-pollution/ 這報導還提供了一些煙火污染的數據

[轉貼/英文] 同字首詞彙表：Pre-（前,之前）

preamble（前言）

precaution（預防措施）【caution（謹慎n., 告誡v.）】

precede（先於...）

precious（珍貴的）

precise（精確的）

predicate（斷言）【indicate（表明,示意,指着）】

predict（預測）【verdict（〔陪審團/當權者作出的〕裁決,決定）； 
  verify（證實,核實〔某事〕）version（樣式,版本）】

prefer(更喜歡)【refer to（提到,參考,把…歸因於）】

prehistoric（有歷史記載以前的）【history（歷史）】

prejudice（偏見，不利於）【judge（認為,判斷,斷定,評價,法官）】

premiere（初次上演）

prepare（準備）

President（總統,校長）【resident（居民n., 居住在[+in]）】

presume（認為）；presume to（擅自）

prevent（預防）【invent（發明,捏造）】

preview（預習,預看,（戲劇,影片,展覽會等的）試演,試映,預展n./v.）

             【review（回顧,檢查,評論n./v.）】

previous（以前的）