[數學] 2015遊戲

前兩天在Facebook上看到這個算式，感覺挺有趣的，看起來好像很複雜，實際除了模除外都是中三程度就能處理的，解法如下：

先處理mod前的那串東西，設 $2^{2015}=x$，可得

    $\sqrt{(x+x)+(x-x)+(x \times x)+(x \div x)}$

$=\sqrt{x ^2+2x+1}$

$=x+1$

$=2^{2015}+1$

上面一大串只是這樣而已

利用 mod 的性質可得
    $2^{2015}+1$ $mod$ $2015$

$=[(2^{2015}$ $mod$ $2015)$ $+(1$ $mod$ $2015)]$ $mod$ $2015$

$=[(2^{13})^{155}$ $mod$ $2015)$ $+1]$ $mod$ $2015$

$=[(2^{13}$ $mod$ $2015)^{155}$ $mod$ $2015$ $+1]$ $mod$ $2015$

$=[11^{155} \times 12^{155}$ $mod$ $2015$ $+1]$ $mod$ $2015$ ------- (1)

感覺好麻煩啊，我先分開算好了，LaTeX碼越來越亂

    $[11^{5}$ $mod$ $2015]^{31}$ $mod$ $2015$

$= 1866^{31}$ $mod$ $2015$

$= [(1866^{3}$ $mod$ $2015)^{10}$ $mod$ $2015$ $\times (1866$ $mod$ $2015)]$ $mod$ $2015$

$= [681^{10}$ $mod$ $2015$ $\times 1866]$ $mod$ $2015$

$= [[681^{2}$ $mod$ $2015]^5$ $mod$ $2015$  $\times 1866]$ $mod$ $2015$

$= [311^4$ $mod$ $2015$ $\times (311 \times 1866)$ $mod$ $2015]$ $mod$ $2015$

$= [(311^2$ $mod$ $2015)^2$ $\times 6]$ $mod$ $2015$

$= (1 \times 6)$ $mod$ $2015$

$= 6$

我已經開始瘋狂跳步了， 這題目誰設計的啊

    $[12^{5}$ $mod$ $2015]^{31}$ $mod$ $2015$

$=987^{31}$ $mod$ $2015$

$=[(987^{3}$ $mod$ $2015)^{10}$ $mod$ $2015$ $\times 987$ $mod$ $2015]$ $mod$ $2015$

$=[1208^{10}$ $mod$ $2015$ $\times 987]$ $mod$ $2015$

$=[(1208^{2}$ $mod$ $2015)^5$ $mod$ $2015$ $\times 987]$ $mod$ $2015$

$=[404^5$ $mod$ $2015$ $\times 987]$ $mod$ $2015$

$=[(404^2$ $mod$ $2015)^2$ $mod$ $2015$ $\times 404 \times 987]$ $mod$ $2015$

$=[1 \times 404 \times 987]$ $mod$ $2015$

$=1793$

把6和1793代回(1)式

$=[6 \times 1793$mod2015+1]mod2015=(10758 $mod$ $2015$ $+1)$ $mod$ $2015$

$=683+1$ $mod$ $2015$

$=684$

算完，有夠麻煩。