[數學] 垂心, 形心和外心的向量關係

昨天在小卒論壇看到一個有關外心(circumcentre)、形心(centroid)和垂心(orthocentre)的題目，解下去發現它們三者的向量關係挺有趣，現分享如下：

題目：Let $O$ and $G$ be the circumcentre and the centroid of $\triangle ABC$. $OG$ is produced to a point $H$ such that $OG:GH=1:2$. Use the vector method to show that H is the orthocentre of $\triangle ABC$.

設$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{r_a}$、$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{r_b}$和$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{r_c}$。
WLOG，設圓的半徑為1，即$||\overrightarrow{r_a}||=||\overrightarrow{r_b}||=||\overrightarrow{r_c}||=1$。

$\overrightarrow{BO}=-\overrightarrow{r_b}$

$\overrightarrow{BG}=\frac{2}{3}\cdot \frac{(BA+BC)}{2}=\frac{\overrightarrow{r_a}+\overrightarrow{r_c}-2\overrightarrow{r_b}}{3}$

$\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{BG}-\overrightarrow{BO}=\frac{\overrightarrow{r_a}+\overrightarrow{r_b}+\overrightarrow{r_c}}{3}$
原來從外心到形心的向量是從外心到三角形各頂點的向量和的三分一！

$\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{r_a}+\overrightarrow{r_b}+\overrightarrow{r_c}$
我們要證明$H$點是垂心，事實上它真的是垂心。從外心到垂心的向量是從外心到三角形各頂點的向量和！

其中
$\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{r_a}+\overrightarrow{r_c}$

相似地：
$\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{r_b}+\overrightarrow{r_c}$
$\overrightarrow{CH}=\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{r_a}+\overrightarrow{r_b}$

三角形各點的到$H$點的向量原來是圓心到另外兩點的向量和，這些關係都剛剛好，很有趣。


接下來只要計算從三個頂點到$H$點的向量是否垂直於三邊(即檢查點積 dor product 是否為0)即可。