[數學] 求周界難題 (2002年第一屆香港培正中學數學邀請賽團體賽第20題)

如圖所示，圓形DEFG為三角形ABC的內切圓，其中AB、BC及CA分別切圓於D、E及F，且AGE是直線。若AG = 1，AF = 2，EF = 3，求三角形ABC的周界。
In the figure, circle DEFG is inscribed in triangle ABC, where AB, BC and CA touch the circle at D, E and F respectively and AGE is a straight line. If AG = 1, AF = 2 and EF = 3, find the perimeter of triangle .

官方的解答如下：

但就$\Delta EFG \sim \Delta ABE$這點，解答中並未作出證明，而且我還看不出有甚麼方法可以證明，這樣就不能用相似三角形解出BD和BE的長度，所以我想了另一個解法：

設BE = BD = x，
考慮$\Delta  ABC$，利用餘弦定理可得
$AC^2=AB^2+BC^2-2(AB)(BC) \cos \angle ABE$
$8^2=(x+2)^2+(x+6)^2-2(x+2)(x+6) \cos \angle ABE$ --- (1)

考慮$\Delta  ABE$，利用餘弦定理可得
$AE^2=AB^2+BE^2-2(AB)(BE) \cos \angle ABE$
$4^2=(x+2)^2+x^2-2x(x+2) \cos \angle ABE$ --- (2)

聯立(1)和(2)可解得 x = 2，
所以周界是20