[數學] 求在單位正方形中, 內切於正方形兩組鄰邊及互相外切的兩圓形的最小面積和

問題：

(出處：Facebook數學討論群組)




題解：
設 $r_1$ 和 $r_2$ 分別是 $O_1$ 和 $O_2$的半徑，
外切點通過圓心至正方形角落的距離為
$(1+\sqrt{2})r$

正方形的對角線長為$\sqrt{2}$

外切點至左下角的距離+外切點至右上角的距離=對角線長
$(1+\sqrt{2})r_1+(1+\sqrt{2})r_2=\sqrt{2}$
$r_1+r_2=\frac{\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}$ ，這是(1)的答案

(2)
$兩圓面積和=(r_1^2+r_2^2)\pi$

根據柯西不等式(Cauchy–Schwarz inequality)
$2(r_1^2+r_2^2) \geq (r_1+r_2)^2$
$(r_1^2+r_2^2) \geq (\frac{1}{1+\sqrt{2}})^2$
$(r_1^2+r_2^2) \geq \frac{1}{3+2\sqrt{2}}$

最小的面積和出現在 $r_1=r_2=r$，其中 $r$ 是常數(可從(1)的答案解出，不過不需要)
所以
$最小面和$ $\\=(r^2+r^2)\pi
\\=\frac{\pi}{3+2\sqrt{2}}$


原發問人是問我怎用梯度(Gradient)和拉格朗日乘數(Lagrange multiplier)去解，
附上該解法：

[數學] 設a>b>c>0, a, b和c屬於整數, (x-c)是f(x)的因式, 其中f(x)=x(x-a)(x-b)-2, 求a+b+c。

問題：設 $a>b>c>0$，a、b和c屬於整數，$(x-c)$ 是 $f(x)$ 的因式，其中 $f(x)=x(x-a)(x-b)-2$，求 $a+b+c$。




題解：

根據餘數定理(Remainder Theorem)
$f(c)=0$
$c(c-a)(c-b)-2=0$
$c(a-c)(b-c)=2$

明顯 $c,(a-c),(b-c)$ 都是正整數，
三個正整數相乘等於 $2$ 的組合只有 ${2,1,1}$

已知 $a>b>c$
所以 $a-c>b-c>0$
可推得
$a-c=2$ 及 $c=b-c=1$
$a=3$ 和 $b=2$

$a+b+c=6$

或者不解出 $a$ 和 $b$，直接求
$a+b+c=a-c+b-c+3c=2+1+3=6$

[數學] 已知方程x^2-11x+(k+30)=0的兩根都比5大，求實數k的取值范圍。(更簡單的解)

題目：已知方程 $x^2-11x+(k+30)=0$ 的兩根都比5大，求實數$k$的取值范圍。
(出處：Facebook 數學問題討論群組)






相信大部分人會這樣解：
http://kantiku.com/math-2375322.htm

在FB上回答的人也是：

在此筆者提供另一個解，用到一個小學有學的定理：
等周定理－－等周界的長方形以正方形的面積最大，長方形兩邊長度差越大，面積越小。

設兩根為 $a$ 和 $b$
$a+b=11$ → $b=11-a$ (兩根和)
$a>5$ and $b=11-a>5$
$5<a<6$

$5 \times 6 < ab \leq ( \frac{5+6}{2})^2 $ (等周定理)
$30<k+30 \leq (\frac{11}{2})^2$ (兩根積)
$0<k \leq \frac{1}{4}$

在運算上簡單很多。

台灣>國小科展專題<也有等周定理的研究，不過從這專題報告只知道在小學有教，不知是幾年級，筆者之前幫小學生補習時也有看到類似的題目。
 
用到等周定理那一步的合理性可從算幾不等式和二次方程的性質得出：
算幾不等式(AM-HM inequality)
$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$
$(\frac{11}{2})^2 \geq ab$

$a(11-a)$是開口向下的二次方程，達到極大值時的 $a$ 從算幾不等式可知是 $\frac{11}{2}$，
$a$ 越是離開這點，$a(11-a)$ 則越小，所以 $a(11-a)$ 的極小值是$5 \times 6$

然後兩根積是 $ab=k+30$

[數學] 證明當整數係數多項式f(x)有有理數x=q/p為根時, f(x)/(px+q)也是整係數多項式

最近遇到一位四處向大學教授寄信問數的台灣高中生，他問了我很多大學數學怎算，他會的一些數學方法我也沒看過，感覺真好，有教學相長的感覺。

他問了我一個問題如標題：

出處不明，我的解如下：

根據一次因式檢驗法(Rational root theorem)
$p|a_n=pb_{n-1}→b_{n-1} \in \mathbb{Z}$

其他項則需分析，先展開 $f(x)$：
$f(x)$$\\=(px+q)(b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+...+b_{1}x+b_{0})
\\=(px+q)b_{n-1}x^{n-1}+(px+q)b_{n-2}x^{n-2}+...+(px+q)b_{1}x+(px+q)b_{0}$

設 $g_{i}(x)$$\\= f(x)-(px+q)b_{n-1}x^{n-1}-(px+q)b_{n-2}x^{n-2}-...-(px+q)b_{i+1}x^{i+1}
\\= (px+q)b_{i}x^{i}+(px+q)b_{i-1}x^{i-1}+...+(px+q)b_{1}x+(px+q)b_{0}
\\=pb_{i}x^{i+1}+(pb_{i-1}+qb_{i})x^{i}+...
\\=pb_{i}x^{i+1}+a_{i}x^{i}+...$，$0\leq i \leq n-2$
第二項以後的係數對應 $a_{i} \in \mathbb{Z}$。

設 $b_{i+1}$ 是整數
$a_{i+1}=pb_{i}+qb_{i+1} \in \mathbb{Z}$
則 $pb_{i}=a_{i+1}-qb_{i+1} \in \mathbb{Z}$
$g_{i}(x)$ 的係數為整數。

$g_{i}(x)$ 有因式 $px+q$，
根據一次因式檢驗法(Rational root theorem)
$p|pb_{i}→b_{i} \in \mathbb{Z}$

由 $b_{n-1}$ 為整數，利用數學歸納法可得
$b_{i} \in \mathbb{Z}$, for $0 \leq i \leq n-1$

[數學] 抽球挑戰題(概率)

問題：袋中有2個紅球，3個白球和4個黑球，如每次在袋中抽出一球並不把球放回袋中，紅球先抽完的機率是多少？
(出處忘了，前幾天看到的，但尾指指根關節發炎所以沒發文，還在痛)

剛看到題目的時候沒甚麼頭緒，現在也是，想不到簡明的方法，總之先把我的解法給大家看一下吧：




解：
以R表示紅球，W表示白球，B表示黑球，
把問題轉換成把9球並列，從左算起，兩個R出現在第3個W和第4個B前，
例如
R W W B B B R W B
R W B R W W B B B

設F(n)是符合題目條件，而最後一個R在第n個位置的組合數，
T是9球隨便排列的組合數

$T=9!=362880$

n只可能是2, 3, 4, 5, 6或7，

F(2)表示球以以下方式排列(X表示在第2個R後的球)：
R R X X X X X X X
$F(2)=2!7!=10080$

F(3)表示球以以下方式排列(Y表示在第2個R前非R的球)：
R Y R X X X X X X
Y R R X X X X X X
$F(3)=2!2!6! \times (C^{3}_{1}+C^{4}_{1})=20160$

F(4)表示球以以下方式排列：
R Y Y R X X X X X
...
$F(4)=2!3!5! \times (C^{3}_{2}+C^{3}_{1}C^{4}_{1}+C^{4}_{2})=30240$

F(5)表示球以以下方式排列：
R Y Y Y R X X X X
...
$F(5)=2!4!4! \times (C^{3}_{2}C^{4}_{1}+C^{3}_{1}C^{4}_{2}+C^{4}_{3})=39168$

F(6)表示球以以下方式排列：
R Y Y Y Y R X X X
...
$F(6)=2!5!3! \times (C^{3}_{2}C^{4}_{2}+C^{3}_{1}C^{4}_{3})=43200$

F(7)表示球以以下方式排列：
R Y Y Y Y Y R X X
...
$F(6)=2!6!2! \times (C^{3}_{2}C^{4}_{3})=34560$

所以
$P(先抽完紅色)$$\\ =\frac{F(2)+F(3)+F(4)+F(5)+F(6)+F(7)}{T}
\\ =\frac{177408}{362880}
\\ =\frac{22}{45}$

如果有更好的解法請告訴我。

[數學] 一元二次方程 (quadratic equation) 挑戰題

題目：
甲乙兩人用公式解一元二次方程式 $x^2 + bx + c = 0$， 甲錯算 $b^2 - 4c$ 得兩根 $(3, -2)$，乙錯看 $b$ 得兩根 $(-5, 2)$，則原方程式為？
(出自：https://www.ptt.cc/bbs/tutor/M.1263636512.A.D15.html)
[原題是 $x^2 + bx + c = 0$，但這沒意義，三個未知數，兩條式，也就是最少有一個是自由變數(free variable)，不失一般性(WLOG) ，設$a$為$1$]







題解：
兩根和$=-b$
兩根積$=c$
二次方程公式解$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4c}}{2}$

1. 甲算錯 $b^2 - 4c$ 並不影響兩根之和，因為從公式可知在計算兩根和時 $b^2 - 4c$ 這一項會一加一減相消，也就是甲所得到的根可算出正確的兩根和，即
$-b$ $=3-2\\
=1$
$b=-1$

2. 同理，乙錯看 $b$ 並不影響兩根積，即
$c$ $\\=-5 \times 2
\\=-10$

所以原方程為 $x^2 - x - 10 = 0$

[數學] 面積趣題 (限時1分鐘)

問題：上圖中藍色部分的面積還是黃色部分的面積比較大？
(原圖是打橫的，不知怎麼上傳就變成打直了，真怪，不過不影響問題就算了。)
(問題來自https://brilliant.org/)

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答案：一樣大

解：
設最大的圓的面積是4X，
中圓的面積則是X (長度比的平方等於面積比)，
黃色部分面積是Y。
利算排容原理(Inclusion–exclusion principle)可知
藍色部分面積
$\\=大圓-4 \times小圓+黃色部分
\\=4X-4\times X+Y
\\=Y
\\=黃色部分面積$

排容原理在比較深的機率和算組合數的題目中很常用，把這種面積重疊問題想成范氏圖(Venn Diagram)的話就不難理解兩者的關係了。一般兩圖形重疊的情況直接想也想得出怎算，但重疊三次以上的圖就不那麼好想了，引用排容原理能快速解題。