[數學] 等高三角形的面積比等於底邊比及應用

等高三角形的面積比等於底邊比這個定理很重要，但很多學生都會忘記，所以拿出來講一講。
對於像上圖一樣的三角形，紅色部分的面積 $S_1$ 和綠色面積 $S_2$ 的比例
和它們的底邊長度a和b的比例有以下關係(證明自己想想)：
$S_1:S_2=a:b$、$S_1:(S_1+S_2)=a:(a+b)$、$S_2:(S_1+S_2)=b:(a+b)$

剛剛在yahoo知識+剛好看到有人發了一個相關的問題如下：
$\triangle ABC$面積為81，$\triangle ABC$中各邊取$\frac{1}{3}$等分點分別為$A_1$，$B_1$，$C_1$ 使得 $2AA_1=A_1B$，$2BB_1=B_1C$，$2CC_1=C_1A$，如此下去，$\triangle A_1B_1C_1$，$\triangle A_2B_2C_2$，$\triangle A_3B_3C_3$，設其面積分別為 $a_1$，$a_2$，$a_3$。則 $a_1+a_2+a_3+...+a_6=$？

首先定義$[\triangle XYZ]$=$\triangle XYZ$的面積，
利用等高三角形的面積比等於底邊比定理可知
$[\triangle AB_1B]:[\triangle ABC]=BB_1:BC=1:3$
及
$[\triangle A_1B_1B]:[\triangle AB_1B]=A_1B:AA_1=2:3$
所以
$[\triangle A_1B_1B]=(\frac{1}{3})(\frac{2}{3})[\triangle ABC]=\frac{2}{9}[\triangle ABC]$

同理可證
$[\triangle A_1B_1B]=[\triangle A_1C_1A]=[\triangle C_1B_1C]=\frac{2}{9}[\triangle ABC]$

所以
$[\triangle A_1B_1C_1]$
$=[\triangle ABC]-[\triangle A_1B_1B]-[\triangle A_1C_1A]-[\triangle C_1B_1C]$
$=[\triangle ABC]-3(\frac{2}{9})[\triangle ABC]$
$=[\frac{1}{3}\triangle ABC]$

同理可得第i個三角形的面積
$[\triangle A_iB_iC_i]=\frac{1}{3}[\triangle A_{i-1}B_{i-1}C_{i-1}]=(\frac{1}{3})^i[\triangle ABC]$

所以
$a_1+a_2+a_3+...+a_6$
$=(\frac{1}{3})^1 [\triangle ABC]+(\frac{1}{3})^2 [\triangle ABC]+...+(\frac{1}{3})^6[\triangle ABC]$
$=(\frac{1}{3})^1 81+(\frac{1}{3})^2 81 +...+(\frac{1}{3})^6 81$

這是等比數列的總和，首項$a=\frac{81}{3}=27$，比例$r=\frac{1}{3}$，項數6，所以
$a_1+a_2+a_3+...+a_6=27\frac{1-(\frac{1}{3})^6}{1-\frac{1}{3}}=\frac{364}{9}$