[數學] ABCD共圓，AD與BC的延線交於圓外的一點E，BDM為直線，其中MT與圓ABCD相切。若EM//AC，證明MT=ME。

問題：

題解：

Joint $BT$ and $DT$.

Let $MT=a$, $ME=b$, $MD=r$ and $MB=s$

Our aim is to prove $a=b$.

Consider $\triangle BMT$ and $\triangle TMD$,

$\angle BMT= \angle TMB$　　　(commond $\angle$)

$\angle TBM= \angle DTM$　　　($\angle$ in alt. segment)

Thus, $\triangle BMT \sim \triangle TMD$　　　(AA)

By corr. sides $\sim \triangle s$, we have,

$\begin{align*} \frac{MT}{MD}&=\frac{MB}{MT}\\ \frac{a}{r}&=\frac{s}{a}\\ a&=\sqrt{rs} \end{align*}$

Consider $\triangle BME$ and $\triangle EMD$,

$\angle BME= \angle EMD$　　　(commond $\angle$)

$\angle MBE= \angle A$　　　($\angle s$ in the same segment)

$\angle A= \angle MED$　　　(alt. $\angle s$, $EM//AC$)

so, $\angle MBE= \angle MED$

Thus, $\triangle BME \sim \triangle EMD$　　　(AA)

By corr. sides $\sim \triangle s$, we have,

$\begin{align*} \frac{ME}{MD}&=\frac{MB}{ME}\\ \frac{b}{r}&=\frac{s}{b}\\ b&=\sqrt{rs}=a \end{align*}$

Therefore, $MT=ME$.

$Q.E.D.$