[數學] 平方數之和 & 立方數之和 的公式證明

剛剛在GerGebra(可在線上使用的數學繪圖軟體)上看到兩個直觀的證明，分享如下：

首n個平方數之和
拉動n可調整n的大小，拉動move可重新排列圖形，按下finish可將圖形併起來

首n個立方數之和
可看到立方數的圖形排在一起時的模樣

不過這在考試比較難想起，考到一半忘了公式的話，畫圖也未必能很快推出公式，我推薦用另一個方法：

對於 $\sum_{i=1}^{n} r^i$ ，可考慮兩個相鄰(i+1)次方數相減的情況，即：
$\sum_{i=1}^{n} [(r+1)^{i+1}-r^{i+1}]$

例如想求平方數(2次方)之和，可考慮相鄰的立方數(3次方)之差：
$\sum_{i=1}^{n} [(r+1)^{3}-r^{3}]$

$=2^3-1^3+3^3-2^3+4^3-3^3+...+(n+1)^3-n^3$

重新整理
$=-1^3+2^3-2^3+3^3-3^3+4^3...+-n^3+(n+1)^3$

明顯除了首尾兩項外，中間的項數都會相消
$=(n+1)^3-1$ ------- (1)


另一方面，把左方展開可得
$\sum_{i=1}^{n} [(r+1)^{3}-r^{3}]$

$=\sum_{i=1}^{n} [3r^2+3r+1]$

$=3\sum_{i=1}^{n} r^2$
  $+3\sum_{i=1}^{n} r$
  $+\sum_{i=1}^{n}1$

其中$\sum_{i=1}^{n} r=\frac{n(n+1)}{2}$、$\sum_{i=1}^{n}1=n$，代入化簡
$=3\sum_{i=1}^{n} r^2 + \frac{3n(n+1)}{2} + n$ ------- (2)

(1)和(2)相等，所以
$3\sum_{i=1}^{n} r^2 + \frac{3n(n+1)}{2} + n=(n+1)^3-1$

$3\sum_{i=1}^{n} r^2 =(n+1)^3-1-n- \frac{3n(n+1)}{2}$

$\sum_{i=1}^{n} r^2 = \frac{(n+1)^3-1-n}{3}- \frac{n(n+1)}{2}$

到這邊可繼續化簡或者直接應用就可，步驟看上去很多，但實際在草稿上做並不需要說明和完整步驟，跳步下可在一兩分鐘算出這式，這樣就算忘了公式也能迅速解題。

更新：
在Facebook群組Math Garage中有人作了一個普遍的解，現轉貼如下

原圖片>>在此<<