[數學] 平方數之和 & 立方數之和 的公式證明

剛剛在GerGebra(可在線上使用的數學繪圖軟體)上看到兩個直觀的證明，分享如下：

首n個平方數之和
拉動n可調整n的大小，拉動move可重新排列圖形，按下finish可將圖形併起來

首n個立方數之和
可看到立方數的圖形排在一起時的模樣

不過這在考試比較難想起，考到一半忘了公式的話，畫圖也未必能很快推出公式，我推薦用另一個方法：

對於 $\sum_{i=1}^{n} r^i$ ，可考慮兩個相鄰(i+1)次方數相減的情況，即：
$\sum_{i=1}^{n} [(r+1)^{i+1}-r^{i+1}]$

例如想求平方數(2次方)之和，可考慮相鄰的立方數(3次方)之差：
$\sum_{i=1}^{n} [(r+1)^{3}-r^{3}]$

$=2^3-1^3+3^3-2^3+4^3-3^3+...+(n+1)^3-n^3$

重新整理
$=-1^3+2^3-2^3+3^3-3^3+4^3...+-n^3+(n+1)^3$

明顯除了首尾兩項外，中間的項數都會相消
$=(n+1)^3-1$ ------- (1)


另一方面，把左方展開可得
$\sum_{i=1}^{n} [(r+1)^{3}-r^{3}]$

$=\sum_{i=1}^{n} [3r^2+3r+1]$

$=3\sum_{i=1}^{n} r^2$
  $+3\sum_{i=1}^{n} r$
  $+\sum_{i=1}^{n}1$

其中$\sum_{i=1}^{n} r=\frac{n(n+1)}{2}$、$\sum_{i=1}^{n}1=n$，代入化簡
$=3\sum_{i=1}^{n} r^2 + \frac{3n(n+1)}{2} + n$ ------- (2)

(1)和(2)相等，所以
$3\sum_{i=1}^{n} r^2 + \frac{3n(n+1)}{2} + n=(n+1)^3-1$

$3\sum_{i=1}^{n} r^2 =(n+1)^3-1-n- \frac{3n(n+1)}{2}$

$\sum_{i=1}^{n} r^2 = \frac{(n+1)^3-1-n}{3}- \frac{n(n+1)}{2}$

到這邊可繼續化簡或者直接應用就可，步驟看上去很多，但實際在草稿上做並不需要說明和完整步驟，跳步下可在一兩分鐘算出這式，這樣就算忘了公式也能迅速解題。

更新：
在Facebook群組Math Garage中有人作了一個普遍的解，現轉貼如下

原圖片>>在此<<

[物理] 感生電動勢問題 (yahoo知識+：大一普物 電磁學 求詳解?)

剛剛在知識+看到這個問題，原本沒打算答，不過看到解答好像錯了：

我覺得有問題的原因是 B 在 較近wire和較遠wire的兩側在移動時，其中一邊上的dB/dt應該在增加，另一邊在減少，預期應該會看到一些像$\frac{1}{r}-\frac{1}{r+w}$的東西，他用的dB/dt是moving rod in magnetic field的情況，和本題有點不一樣，所以我也算一次：

The B field produced by the long wire is $B= \frac{\mu_0I}{2 \pi s}$

so $\phi = \int B \cdot da=\frac{\mu_0I}{2 \pi} \int_{r}^{r+w} \frac{l}{s} ds$

$\frac{\mathrm{d \phi} }{\mathrm{d} t} = \frac{\mu_0I}{2 \pi} \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} \int_{r}^{r+w} \frac{l}{s} ds$

$= \frac{\mu_0Il}{2 \pi} (\frac{1}{r+w}-\frac{1}{r}) \frac{\mathrm{d r} }{\mathrm{d} t}=\frac{\mu_0Il}{2 \pi} (\frac{-w}{r(r+w)})v$

Thus $\varepsilon=-\frac{\mathrm{d \phi} }{\mathrm{d} t}=\frac{\mu_0Ilwv}{2 \pi r(r+w)}$

Since $\varepsilon=iR$, where i is the current in the loop,

$\frac{\mu_0Ilwv}{2 \pi r(r+w)}=iR$

$i=\frac{\mu_0Ilwv}{2 \pi r(r+w)R}$

很久沒碰了，不過看起來應該這樣才對。

[數學] 等高三角形的面積比等於底邊比及應用

等高三角形的面積比等於底邊比這個定理很重要，但很多學生都會忘記，所以拿出來講一講。
對於像上圖一樣的三角形，紅色部分的面積 $S_1$ 和綠色面積 $S_2 $ 的比例
和它們的底邊長度a和b的比例有以下關係(證明自己想想)：
$S_1:S_2=a:b$、$S_1:(S_1+S_2)=a:(a+b)$、$S_2:(S_1+S_2)=b:(a+b)$

剛剛在yahoo知識+剛好看到有人發了一個相關的問題如下：
$\triangle ABC$面積為81，$\triangle ABC$中各邊取$\frac{1}{3}$等分點分別為$ A_1$，$B_1$，$C_1$ 使得 $2AA_1=A_1B$，$2BB_1=B_1C$，$2CC_1=C_1A$，如此下去，$\triangle A_1B_1C_1$，$\triangle A_2B_2C_2$，$\triangle A_3B_3C_3$，設其面積分別為 $a_1$，$a_2$，$a_3$。則 $a_1+a_2+a_3+...+a_6=$？

首先定義$[\triangle XYZ]$=$\triangle XYZ$的面積，
利用等高三角形的面積比等於底邊比定理可知
$[\triangle AB_1B]:[\triangle ABC]=BB_1:BC=1:3$
及
$[\triangle A_1B_1B]:[\triangle AB_1B]=A_1B:AA_1=2:3$
所以
$[\triangle A_1B_1B]=(\frac{1}{3})(\frac{2}{3})[\triangle ABC]=\frac{2}{9}[\triangle ABC]$

同理可證
$[\triangle A_1B_1B]=[\triangle A_1C_1A]=[\triangle C_1B_1C]=\frac{2}{9}[\triangle ABC]$

所以
$[\triangle A_1B_1C_1]$
$=[\triangle ABC]-[\triangle A_1B_1B]-[\triangle A_1C_1A]-[\triangle C_1B_1C]$
$=[\triangle ABC]-3(\frac{2}{9})[\triangle ABC]$
$=[\frac{1}{3}\triangle ABC]$

同理可得第i個三角形的面積
$[\triangle A_iB_iC_i]=\frac{1}{3}[\triangle A_{i-1}B_{i-1}C_{i-1}]=(\frac{1}{3})^i[\triangle ABC]$

所以
$a_1+a_2+a_3+...+a_6$
$=(\frac{1}{3})^1 [\triangle ABC]+(\frac{1}{3})^2 [\triangle ABC]+...+(\frac{1}{3})^6[\triangle ABC]$
$=(\frac{1}{3})^1 81+(\frac{1}{3})^2 81 +...+(\frac{1}{3})^6 81$

這是等比數列的總和，首項$a=\frac{81}{3}=27$，比例$r=\frac{1}{3}$，項數6，所以
$a_1+a_2+a_3+...+a_6=27\frac{1-(\frac{1}{3})^6}{1-\frac{1}{3}}=\frac{364}{9}$

[程式/Python] 在Codecademy寫的第一個Python程序 : Pig Latin

最近試著在Codecademy學寫Python，這是我寫的第一個程序：

把英文單字的字頭放到最尾，然後在後面加上ay的暗語。

不過寫這個的時候還沒學到for loop怎麼寫，上網查了一下寫法再試一下，那個range(a,b)原來只到 i = b-1，(a,b)不由a到b，總覺得很不舒服。

後記：
原來到這邊不需要寫這個程式，之後的課程會一步步教，而且有教"string".[a:b]，可以不用for來寫:3

[數學] 求周界難題 (2002年第一屆香港培正中學數學邀請賽團體賽第20題)

如圖所示，圓形DEFG為三角形ABC的內切圓，其中AB、BC及CA分別切圓於D、E及F，且AGE是直線。若AG = 1，AF = 2，EF = 3，求三角形ABC的周界。
In the figure, circle DEFG is inscribed in triangle ABC, where AB, BC and CA touch the circle at D, E and F respectively and AGE is a straight line. If AG = 1, AF = 2 and EF = 3, find the perimeter of triangle .

官方的解答如下：

但就$\Delta EFG \sim \Delta ABE$這點，解答中並未作出證明，而且我還看不出有甚麼方法可以證明，這樣就不能用相似三角形解出BD和BE的長度，所以我想了另一個解法：

設BE = BD = x，
考慮$\Delta  ABC$，利用餘弦定理可得
$AC^2=AB^2+BC^2-2(AB)(BC) \cos \angle ABE$
$8^2=(x+2)^2+(x+6)^2-2(x+2)(x+6) \cos \angle ABE$ --- (1)

考慮$\Delta  ABE$，利用餘弦定理可得
$AE^2=AB^2+BE^2-2(AB)(BE) \cos \angle ABE$
$4^2=(x+2)^2+x^2-2x(x+2) \cos \angle ABE$ --- (2)

聯立(1)和(2)可解得 x = 2，
所以周界是20

[聽歌學英文] Mary Hopkin - Those were the days 昔日時光 (中英歌詞對照)

　　　歌曲：Those were the days
　　　歌手：Mary Hopkin
　　　翻譯：網絡上各處抓的／潤飾：尼特(重頭上路)
中英文歌詞：

Once upon a time there was a tavern
曾經有那麼一間小酒館

Where we used to raise a glass or two
我們在那裡舉杯小酌

Remember how we laughed away the hours
記得我們曾經在歡笑中渡過許多時間

And dreamed of all the great things we would do
也曾經有過一些偉大的夢想


Those were the days my friend
我的朋友 那是一段曾經存在的時光

We thought they'd never end
我們曾經(天真地)以為那段日子會永遠繼續

We'd sing and dance forever and a day
我們一天天永無止盡地唱著跳著

We'd live the life we choose
我們為自己選擇的生活方式而活

We'd fight and never lose
我們戰鬥未嘗敗績

For we were young and sure to have our way
因為我們當時年輕　也堅持走自己的路

La la la la...



Then the busy years went rushing by us
然後　好幾年　我們各自奔忙

We lost our starry notions on the way
在過程中我們失去了當年那星星一般閃亮的想法

If by chance I'd see you in the tavern
如果我剛巧在小酒館再遇見妳

We'd smile at one another and we'd say
我們會互向對方投以一個微笑　然後我們會說


Those were the days my friend
我的朋友　那是一段曾經存在的時光

We thought they'd never end
我們曾經(天真地)以為那段日子會永遠繼續

We'd sing and dance forever and a day
我們一天天永無止盡地唱著跳著

We'd live the life we choose
我們為自己選擇的生活方式而活

We'd fight and never lose
我們戰鬥未嘗敗績

Those were the days, oh yes those were the days
那些往日時光，對，那些往日時光……

La la la la...



Just tonight I stood before the tavern
今晚，我呆佇在小酒館門前

Nothing seemed the way it used to be
一切都已經今非昔比

In the glass I saw a strange reflection
從窗玻璃的反映中　我看見陌生的人影

Was that lonely woman really me
那個寂寞的女子真的是我嗎？


Those were the days my friend
我的朋友 那是一段曾經存在的時光

We thought they'd never end
我們曾經(天真地)以為那段日子會永遠繼續

We'd sing and dance forever and a day
我們一天天永無止盡地唱著跳著

We'd live the life we choose
我們為自己選擇的生活方式而活

We'd fight and never lose
我們戰鬥未嘗敗績

Those were the days, oh yes those were the days
那些往日時光，對，那些往日時光……

La la la la...



Through the door there came familiar laughter
門外傳來一陣熟悉的笑聲

I saw your face and heard you call my name
我看見你的臉　聽見你叫我的名字

Oh my friend we're older but no wiser
我的老朋友　我們年紀大了　但並沒有變得聰明

For in our hearts the dreams are still the same
因為在妳我心中　那夢想從沒有改變過


Those were the days my friend
我的朋友 那是一段曾經存在的時光

We thought they'd never end
我們曾經(天真地)以為那段日子會永遠繼續

We'd sing and dance forever and a day
我們一天天永無止盡地唱著跳著

We'd live the life we choose
我們為自己選擇的生活方式而活

We'd fight and never lose
我們戰鬥未嘗敗績

Those were the days, oh yes those were the days
那些往日時光，對，那些往日時光……

La la la la...

[科學] 電池有沒有電？ 摔一下就知道！

要用電池的時候總會在家裡的角角落落找到一兩顆電池，可是總是不知道還有沒有電，今天就為大家介紹個可以迅速判斷電池電量的方法(可惜只能用在鹼性電池)：摔電池。只要把電池像下圖一樣摔一摔，不會回彈的就是滿電的電池(左)，而會回彈的就是沒電的電池(右)。

http://i.imgur.com/TkcnqIg.gifv

每日郵報

電量不同造成的彈性差異是來自鹼性電池的運作原理。鹼性電池的陽極原本是凝膠狀的鋅，當受到撞擊時，凝膠狀的鋅產生了緩衝的作用，就像氣墊一樣吸收了撞擊力，因此滿電的電池幾乎不會回彈。當電池開始放電，鋅氧化為氧化鋅，這些鋅的氧化物會互相連結，變成固態狀的結構，因而增加了反彈的能力。

每日郵報，左圖是新電池，內為凝膠狀的鋅，右圖是舊電池，內為固態的氧化鋅。

下圖顯示了電量和彈性之間的關係：

每日郵報

chemistryworld

[動物] 吸血貓洛基

說起吸血貓，不知道大家是不是第一時間想起這個：

總之先把這個放一邊，今天要跟大家介紹的是真正的吸血貓－－洛基(Loki)

吸血貓洛基有著一張邪惡的臉，這讓牠在網絡上紅起來了。加上一對萌死人的虎牙讓牠看起來活像一隻吸血鬼。牠的奴隸凱特(Kate)是在動物庇護中心領養牠的，據說牠有一些健康問題，但凱特並沒有詳細說明。不過從凱特上傳的相片來看，牠似乎過得不錯。

本貓被封印的力量要覺醒了！

我的身體渴求著鮮血！

綺羅星（<ゝω・）

這樣摸我有很好玩嗎，我覺得一點都不好玩

手手，做得好

更多吸血貓的相片在：
Instagram: @loki_kitteh
Tumblr: katje444.tumblr.com
Twitter: @loki_kitteh

資料來源：http://www.boredpanda.com/loki-cat-vampire-teeth-kaet/

[科學] 死因不是窒息，而是脫水

最近家裡闖進了一隻蟑螂，會飛，又大，嚇死朕了。雖然用殺蟲水將牠處決了，但牠死前也回光反照得太厲害了，於是我到網絡上尋找殺蟑妙方，結果找到了肥皂水滅蟑。肥皂水滅蟑的文章很多，都說肥皂水溶解了蟑螂腹部的氣孔上的油脂進而堵塞氣孔，蟑螂就死了。[1]

但事實上蟑螂就算整隻浸在水裡都可以浸上快一小時不死 [2]，風乾了還活蹦亂跳，證明蟑螂和氧氣分開根本不足以致命，難以解釋為何牠在腹部的油溶解後會在一兩分鐘內死亡。

我先簡單了解了昆蟲的氣管系統(tracheal system)，得知昆蟲氣管內充滿了水蒸氣，如果打開氣孔將會使其脫水 [2]，從油脂溶解令氣孔失去油層保護去推想，蟑螂可能是死於脫水，於是我從昆蟲的蠟油層(waxy layer)和脫水著手，發現當蠟油層被破壞，蟑螂的遠親－－頭蝨將會脫水而死。[4]

為了證明肥皂的作用是脫水而不是窒息，我想到另一種可分解油層又很快揮發不會有機會"堵塞氣孔"的溶劑：消毒酒精。上網查了一下，消毒酒精真的可以用來殺蟲。

影片0:42-0:52

然後我查找了其他滅蟑方法，也有提到像是矽藻土殺蟑法中也提到矽藻土會吸掉那層油，令蟑螂脫水而死。蠟油層原來是骨骼動物/節肢動物用來防止體內水蒸氣流失的，蟑螂也一樣，當牠們失去這層蠟油，根據菲克定律，牠們循環系統的水分就會擴散流失，進而經脈失調而死，學名叫：脫水(Dehydration)。[5]

綜合蟑螂在缺氧環境下的生存能力，其腹部油層的作用，失去油層的後果，我認為用肥皂水滅蟑時，蟑螂的真正死因應該是脫水而不是淹死！

知道這個有屁用，我在認真甚麼:3

後記：
在我找資料助證的過程中，我找到另一滅蟑神器：節流閥清潔劑。
相關的報導影片中，有位除蟲專家林先生也提到蟑螂失去油層是死於脫水：東網專題：地球最強殺蟑神器　小強1秒橫死，影片的1:16-1:22。但有趣的是報導員在1:27-1:32卻說蟑螂死因是窒息，報導內文也說林先生說的是窒息，可是明明影片裡不是這樣說啊！記者啊…

註：
[1] PPT精華板：殺蟑螂的方法
[2] 流言終結者(MythBusters)實驗：淹死蟑螂? (Drowning Cockroaches?)
[3] 昆蟲如何呼吸？ 氣管系統簡介 (How do insects breathe? An outline of the tracheal system)，第二段
[4] Effectiveness of isopropyl myristate/cyclomethicone D5 solution of removing cuticular hydrocarbons from human head lice (Pediculus humanus capitis), Discussion第二段
[5] 矽藻土Wiki，殺蟲劑段落

[看片學英文] 如何只用20小時學會新的技能 The first 20 hours - how to learn anything | Josh Kaufman | TEDxCSU

給忙人看的重點整理：

不要被10000小時法則嚇倒

坊間有一種說法：「學習好一件事需要10000小時」，這不是事實的全部。10000小時法則是指成為專家需要練習10000小時 (出自Dr. K. Anders Ericsson)，也就是如果你並不是要成為世界頂尖的名人(例如只是想用吉他彈一首歌)，其實不需要花那麼多時間，花20小時，20小時就夠了。

4招學會任何事

但20小時並不是指隨隨便便學個20小時就好，而是指有效、專注地投放20小時在學習上，如何做到？用4招就可以了：

1. 認清目標，分解你要學的技能，只選取你需要的部分學習

任何技能都涉及大量技巧，但你的目的只是做一兩件事情的話，那可能學會一兩個技巧就夠了。例如你想學踩單車，你的目標是騎單車上學/上班，那你並不需要花時間去學習任何和花式單車表演有關的東西。

2. 學到能自行修正錯誤就開始練習

你可以找幾本參考書，簡單看一下基本的東西，然後就開始實踐，在實踐的過程中修正自己的錯誤是最有效的學習方式。如果你每每都要看完一整套相關的書才開始練習，那你再多時間都不夠用。

3. 遠離誘因

離開你的手機、電視、網絡，一切會讓你分心的東西都在減低你的學習成效，事倍功半。

4. 練習最少20小時

一開始練習總會碰釘，任何人都不想自己看起來很蠢，於是在開始時就卻步。但只要認真練習個幾小時，就會開始進步，練習20小時後，已經可以開始表演了。

每天45分鐘，一個月學會一種新技能

20小時不難達成，每天抽45分鐘出來就夠了，學習新事物的最大障礙不是你有多聰明，而是你對未知的領域的恐懼。覺得自己笨手笨腳，好像怎做都做不好，繼而放棄，這種心理妨害了你的進步。只要訂定目標，認真練習20小時，你絕對做得比你想像中好！

[數學] 星數學難題解答不可能有兩個

星數學難題解答 英數學家見解不同 

首先請看了上面的連結，了解了問題後我們開始分析：

原問題：
男孩艾柏特（Albert）和柏納（Bernard）最近和女孩雪瑞兒（Cheryl）成為朋友，他們想知道她的生日。

雪瑞兒告訴他們，是5月15日、5月16日、5月19日、6月17日、6月18日、7月14日、7月16日、8月14日、8月15日和8月17日等10個日子之一。

她接著分別告訴艾柏特和柏納自己生日的月份和日期，接續以下對話。

1. 艾伯特：「我不知道雪瑞兒的生日，但我可以確認柏納也不知道。」

2. 柏納：「我起先不知道，但現在我知道了。」

3. 艾伯特：「那我也知道了。」

報導中說8月17日也可以是答案，那為甚麼我認為不能是8月17日：

從(1)可知月份不為5或6，因為如果月份是5或6，
生日就有可能在5月19日或6月18日，
那艾柏特就無從斷定柏納不知道雪瑞兒的生日，
所以月份必然是7或8。

而(2)表示柏納知道了月分是7或8就可判定生日日期，
可見這個日子在7月和8月的可能性中是不重覆的，
也就是15日、16日和17日。

問題在(3)，3表示艾伯特能確定生日日期，
那就不可能是8月，因為8月有兩個日子(15日和17日)
可給柏納判決生日日期，艾伯特無線索可更仔細地分開這兩個可能性。

唯有月份在7月時，艾伯特才能從(2)得知唯一的可能是16日，
也就是原解答的7月16日，這報導的解法似乎忘記了8月15日也是其中一個可能性，
會令(3)的條件不成立。

[PS練習] Photoshop將相片變畫

最近在自學PS，以下是一些作品：

 

[轉貼/文章] 淚 / 最悲傷作文 (全文) - 作者：木苦依伍木(柳彝)

爸爸生前最疼我，媽媽就天天想辦法給我做好吃的。可能媽媽也想他了吧。
媽媽病了，去鎮上，去西昌，錢沒了，病也沒好。
那天，媽媽倒了，看看媽媽很難受，我哭了。我對媽媽說：「媽媽你一定會好起來的，我支持你，吃了我做的飯，睡睡覺，就好了。」
第二天早上，媽媽起不來，樣子很難看。我趕緊叫打工剛回家的叔叔，把媽媽送到鎮上。
第三天早上，我去醫院看媽媽，她還沒有醒。我輕輕地給她洗手，她醒了。
媽媽拉著我的手，叫我的小名：「妹妹，媽媽想回家。」
我問：「為什麼了？」
「這裡不舒服，還是家裡舒服。」
我把媽媽接回家，坐了一會兒，我就去給媽媽做飯。飯好了，去叫媽媽，媽媽已經死了。
課本上說，有個地方有個日月潭，那就是女兒想念母親留下的淚水。

---

能寫字的還能表達自己的不幸和悽慘，
但中國內地還有上千上萬個被拐的小孩，
連字也沒法學，寫不出文章，更沒有老師可把身世放在網絡上，
某程度上來說，這位妹妹已算是相對幸福的一個，
我覺得這才是這個故事最悲愴之處。

[數學] 某補習社Blog提出的幾何難題

In the figure, AB is a diameter of the circle. OP⊥AB and CD is the perpendicular bisector of OP. Find ∠PBC.
上圖中, AB 為圓的一條直徑, OP⊥AB 而且 CD 為OP 的垂直平分線, 求∠PBC。

某補習社把它說得很難，於是我試著解...... ：

首先加線CP和CO這兩條紅線，因為PE=EO，

所以三角形CPO是等腰三角形，其中CP=CO (等腰三角形性質)，
又由於CO=PO (半徑)，所以三角形CPO三邊相等，它是等邊三角形。

∠POC=60度 (等邊三角形性質)，那麼

$\angle PBC=\frac{1}{2}\angle POC=30^\circ$ (圓心角兩倍於圓周角 / ∠at centre twice ∠ at circumference)

論難度其實不算難，只要想想PE=EO可提供甚麼線索就很易解開了，

這補習社應該請我，我手上的難題庫比這題難的題目多的是呢～


後記：
我出了這個post後一兩星期再回去看看該補習社的blog，他們已經把這"挑戰題"下架了ww

[AMV/MAD] Devil's Game 惡魔遊戲

　影片作者：Chiikaboom

　動畫素材：Puella Magi Madoka Magica

　　　歌曲：A Demon's Fate
　　　歌手：Within Temptation
中英文歌詞：

[聽歌學英文] Within Temptation - A Demon's Fate (中英歌詞對照)

---

同製作者用DVD版片源重製了新的版本：

[聽歌學英文] Within Temptation - A Demon's Fate (中英歌詞對照)

　　　歌曲：A Demon's Fate
　　　歌手：Within Temptation
　　　翻譯：網絡上抓的／潤飾：尼特(重頭上路)
中英文歌詞：

You'll burn this time
你將在此刻燃燒

Seeing the violence is feeding my mind
看著暴力填滿我的心

No one is saving you
沒有人會拯救你

How can you find
A heaven in this hell?
你怎可能在這地獄中找到天堂？


Leave it behind
將它遺忘吧

Hear in your silence
在你的沉默中傾聽

Our screams of goodbye
我們離別的尖叫

Cannot believe
不能相信

It's an eye for an eye
這是以眼還眼

Let us go to waste
讓我們捨棄自我


Angels have faith
天使有他的信念

I don't wanna be a part of his sin
我不想成為他部分的罪

I don't wanna get lost in his world
我不想在他的世界迷失

I'm not playing this game
我並沒在玩這遊戲


When the shadows remain
當陰影依然存在

In the light of day
在日間的光芒

On the wings of darkness he'll retaliate
在那黑暗的翅膀中他將展開報復

He'll be fallen from grace
他將墜落

'Till the end of all his days
直到他的終結之日子


From the ashes of hate
來自憎恨的灰燼

It's a cruel demon's fate
這是惡魔的殘酷命運

On the wings of darkness he's returned to stay
在那黑暗的翅膀中他將再次留下

There will be no escape
無法逃離

'Cause he's fallen far from grace
因為他已喪盡天良


What have you done?
你做了什麼？

Is this what you wanted?
那是你所期望的嗎？

What have you become?
你變成了甚麼？

Your soul's not forsaken
你的靈魂並沒被遺棄

You're walking alone from heaven into hell
你孤身從天堂走進地獄

Now that you know your way in this madness
現在你知道你所走的道路在瘋狂之中

Your powers have grown
你的力量已成長

Your chains have been broken
你所身上的鎖鏈早已崩毀

You'll suffer so long
你將承受長久的苦痛

You will never change
你將不會改變


Angels have faith
天使有他的信念

I don't wanna be a part of his sin
我不想成為他部分的罪

I don't wanna get lost in his world
我不想在他的世界迷失

I'm not playing this game
我並沒在玩這遊戲


When the shadows remain
當陰影依然存在

In the light of day
在日間的光芒

On the wings of darkness he'll retaliate
在那黑暗的翅膀中他將展開報復

He'll be fallen from grace
他將墜落

'Till the end of all his days
直到他的終結之日子


From the ashes of hate
來自憎恨的灰燼

It's a cruel demon's fate
這是惡魔的殘酷命運

On the wings of darkness he's returned to stay
在那黑暗的翅膀中他將再次留下

There will be no escape
無法逃離

'Cause he's fallen far from grace
因為他已喪盡天良


Angels have faith
天使有他的信念

I don't wanna be a part of his sin
我不想成為他部分的罪

I don't wanna get lost in his world
我不想在他的世界迷失

I'm not playing this game
我並沒在玩這遊戲


When the shadows remain
當陰影依然存在

In the light of day
在日間的光芒

On the wings of darkness he'll retaliate
在那黑暗的翅膀中他將展開報復

He'll be fallen from grace
他將墜落

'Till the end of all his days
直到他的終結之日子


From the ashes of hate
來自憎恨的灰燼

It's a cruel demon's fate
這是惡魔的殘酷命運

On the wings of darkness he's returned to stay
在那黑暗的翅膀中他將再次留下

There will be no escape
無法逃離

'Cause he's fallen far from grace
因為他已喪盡天良

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其實之前的翻譯也有參考網絡上既有的翻譯，
這次改動的地方不多，所以不直接下自己的名義了。

[數學] 如何在Blogger中輸入LaTeX符號

 在Blogger的版面配置的 Cross Column 2新增HTML/Java工具, 並輸入以下代碼：

<script src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML" type="text/javascript">
    MathJax.Hub.Config({
     TeX: { equationNumbers: { autoNumber: "AMS" } },
     tex2jax: {
      inlineMath: [ ['$','$'], ["\\(","\\)"] ],
      displayMath: [ ['$$','$$'], ["\\[","\\]"] ],
      processEscapes: true },
     'HTML-CSS': { scale: 90 },
     displayIndent: '2em'
    });
</script> 

然後在文章中所有被兩個錢符號＄(要半形, 這是全形)夾著的東西都會變成LaTeX格式，
以下是範例：

輸入的文字：
J_\alpha(x) = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{m! \Gamma (m + \alpha + 1)} {\left({ \frac{x}{2} }\right)}^{2m + \alpha}

夾上錢符號後會變成：
$J_\alpha(x) = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{m! \Gamma (m + \alpha + 1)} {\left({ \frac{x}{2} }\right)}^{2m + \alpha}$

參考資料：
[1] MathJax教程
[2] 如何在Blog使用TeX

[數學] 秒解cos[x]^2-sin[x]^2=1

剛剛在小卒論壇看到有人問一題數：
For 0<=x<=360 Degrees, How many roots does the equation cos[x]^2-sin[x]^2=1 have?
當0<=x<=360度時, cos[x]^2-sin[x]^2=1有多少個根?

回答中不少人提供了複角公式或恆等式的解法
複角公式解：
cos[x]^2-sin[x]^2=cos[2x]=1, 0<=2x<=720
2x =0, 360, or 720
3個根

恆等式解：
1=cos[x]^2+sin[x]^2=cos[x]^2-sin[x]^2
sin[x]^2=-sin[x]^2
二次方的東西大於或等於0, 所以 sin[x]^2=0是唯一一個令等式成立的解,
於是x=0, 180 or 360

不過既然是MC題, 當然要用快方法,
其實如果你記得sin[x]^2和cos[x]^2的圖像, 畫出來就看得出答案了：

用幾秒去Sketch就夠了, sin[x]^2和cos[x]^2的圖像最大是1,最小時0,
要減出=1的結果, 只能是cos[x]^2=1及sin[x]^2=0的時候,
從圖中就看得出有3個解了

[AMV/MAD] Our Tapes

　影片作者：Umika & ZEVS1993

　動畫素材：K-on!,
　　　　　　K-on!!,
　　　　　　K-on movie,
　　　　　　Hyoka,
　　　　　　Kimi ni todoke,
　　　　　　Mawaru Penguin Drum,
　　　　　　Bakemonogatari,
　　　　　　Fate Zero,
　　　　　　Toradora,
　　　　　　Kurakami,
　　　　　　Durara!,
　　　　　　Itsuka Tenma no Kuro Usagi,
　　　　　　Fuyu no Sonata,
　　　　　　ef - a tale of melodies,
　　　　　　ef - a tale of memories,
　　　　　　Steins;Gate,
　　　　　　Hachimitsu to Clover,
　　　　　　Kuroshitsuji,
　　　　　　Toaru Majutsu no Index,
　　　　　　Guilty Crown,
　　　　　　Kara no Kyoukai, Karas,
　　　　　　Ga-Rei -Zero-,
　　　　　　Suzumiya Haruhi no Shoushitsu,
　　　　　　Yosuga no Sora, Naruto,
　　　　　　Bungaku Shoujo,
　　　　　　Kimi Ga Nozomu Eien,
　　　　　　Kanon,
　　　　　　Angel Beats!,
　　　　　　Clannad,
　　　　　　Clannad After Story,
　　　　　　Kannagi,
　　　　　　Croisee in a Foreign Labyrinth ~ The Animation,
　　　　　　Black Rock Shooter,
　　　　　　Fullmetal Alchemist: Brotherhood,
　　　　　　White Album,
　　　　　　Nogizaka Haruka no himitsu,
　　　　　　Bleach, Another,
　　　　　　Inu x Boku SS,
　　　　　　original animation

　　　歌曲：Devotion
　　　歌手：Kylie Minogue
中英文歌詞：

[聽歌學英文] Hurts ft Kylie Minogue - Devotion (中英歌詞對照)

　製作花絮：

[聽歌學英文] Hurts ft Kylie Minogue - Devotion (中英歌詞對照)

　　　歌曲：Devotion
　　　歌手：Kylie Minogue
　　　翻譯：尼特(重頭上路)
中英文歌詞：

Inside the heart of every man
在每個男人心中

There is a lust you understand
都有個共同的慾望

And I'm just the same
我亦同樣

When all the love has gone away
當所有愛已逝去

And passion stares me in the face
而激情撲面而來

Could I walk away?
我能輕易抽身嗎?

Here's hoping
我渴望

You'll help me to be brave.
你能助我變得勇敢

Devotion save me now
忠誠拯救了我

I don't wanna stray from the hallowed ground
我不想從聖地迷失

I'll turn temptation down
我會謝絕誘惑

I'm asking you to take me to safety this time
這次請你帶我到安全之地

Forgive my thoughts when I'm asleep
原諒我在夢中的想法

Forgive these words I'm yet to speak
原諒這些我還未說出口的話語

I feel so ashamed
我感到很羞愧

Right now you seem so far away
現在的你顯得難以觸及

So much confusion clouds my mind
無數困惑擾我心神

And I don't know which path to take
我不知道該走哪條路

Here's hoping
我渴望

You'll help me to resist.
你能助我抵抗(誘惑)

Devotion, Devotion..
忠誠　忠誠

I'm a slave unto the mercy of your love
我是你的憐愛的奴隸

For so long,I've been so wrong
一直以來　我大錯特錯

I could never live without you.
沒有你我無法生存

Devotion, Devotion
忠誠　忠誠

Take me to safety
帶我到安全之地

[小遊戲] Agario 如何減少lag的問題

原文
http://www.agariogame.com/agar-io-how-to-reduce-lag/

由於太多人玩Agario了，但營運方的經費不足(免費，免費，你一毛錢都不用出，還想怎樣？Agario重開時會有廣告，這大概是他們的收入來源，如果你不想捐錢的話，我想你也可以試著點下去……)

簡單說一下上面的文章提出的方法：
1. 選地理上比較近你的伺服器以減少延遲(ping)
以下是各伺服器的位置：

• US West: 加利福尼亞州 (USA)
• US East: 亞特蘭大 (USA)
• South America: 亞特蘭大 (USA)
• Europe: 倫敦 (UK)
• Russia: 倫敦 (UK)
• Turkey: 倫敦 (UK)
• East Asia: 新加坡
• China: 新加坡
• Oceania: 新加坡

2. 停用瀏覽器插件。

3. 關閉瀏覽器中多餘的分頁，最好當然是只有一個分頁。

4. 用匿名模式遊玩以減少資訊紀錄時的Lag，不過這樣就不能為Facebook帳戶升級了，而且效果不大，可以不考慮這個。

5. 在設定裡選No Skins。減少圖像處理能有效減少Lag。

但其實同時在線人數過十萬，lag的主因應該是伺服器問題，所以個人認為愛就捐下去，用銀彈支援Agario是最有效的。如果你喜歡我的文章也可以用銀彈攻擊下我啦，我會超高興的。

[小遊戲] Agario 大菌吃小菌

Agario發佈出來短短幾天就達到了數萬人同時在線遊玩的成績，在好奇之下我就玩下去了，一玩就停不了手www

遊戲網址：http://agar.io/

在Agario裡你將扮演一個小細菌，周圍的彩色小點是食物，你的唯一遊戲目的就是吃食物然後變大。而Agario是一款連線遊戲，所以你會看到好幾十人同時和你在搶食物。而最好玩的事是，除了食物外，比你小的玩家也是可以吃的，所以各位可以盡情在Agario裡享受屠殺弱小獵物的快感，這些獵物可不是冷冰冰的AI，而是血淋淋的人類www

Agario不需要登入，可以直接匿名遊玩，當然你喜歡的話可以用你的Facebook帳號登入，好處都有啥等下說。

操作：
在Agario的世界裡，你的滑鼠指向哪裡，你就會向那裡移動，你一開始的質量是10單位，速度最高，每吃一個食物就增加1單位質量，自身的半徑也會增加但速度會下降，所以基本上你永遠都追不贏比你小的菌。而且當你變得越大，你的菌的新陳代謝也會越快，也就是你的質量會像你的骨質一樣流失。

W：按下W後你的菌就會開始嘔吐，大約會吐出20單位質量的嘔吐物(你的菌超過30單位時才能做)，吃了它就可以補回20單位的質量，在分養分給朋友或在逃跑時減少質量增加速度時會用到。

空白鍵：你的菌會向你滑鼠指著的方向分裂並射出一半的質量(需要質量大於36才能使用)，分裂出的菌也會跟著你的滑鼠前進。射出時的高速能讓你捕獲比你一半大小再小一點的玩家。但如果分裂後你比對方小，就可能變成送羊入虎口了。分裂後各菌的速度根據各菌的大小而定，而每次分裂也會把你所有菌能分裂的都分成兩份。當你分裂得越多，你的視野也會越廣，但相對地很易給別人一口吃掉。在你想喂別人時，可用空白直接把一半質量射在對方臉上(X，這是一種有效的喂食方式，畢竟吐出來太慢了，而且不太衛生。

Esc：可以退出遊戲，你的細菌就會變成植物菌等著被吃。

Agario中有兩種物件：
第一種是牆，場地不是無限大的，要是被迫到牆角就只能去死了。
第二種是帶刺的綠色球，當菌的大小比刺球小時，能躲在其中不被發現；當菌比刺球大時會被刺球撞散成八九個小球，很易成為別人的美食。逃亡時可擅用刺球讓大型的對手多繞些路。另外當你用W喂刺球，它就會變大，如果它獲喂7次，就會向你吐食物的方向高速分裂出一個刺球。好好利用這點可以射爆一直追著你的討厭鬼。不過要一口氣射7次要相當的耐力，你至少要有160以上的質量才做得到，不然射到一半你就萎了。

用FB登入Agario後可升級，每一級會增加1單位起始質量，這關係到你起步時能多快開始吃人。當然影響不是很大啦。

[AMV/MAD] 葬愛(Buried Love)

男主角折木奉太郎收到一張他女朋友櫛枝實乃梨和另一男同學高須龍兒手撁手約會的相片，並以實乃梨有外遇為由與她分手。事實上相片只是斷章取義的誤會，當時他們的同學川嶋亞美也在場，雖然實乃梨拼命解釋，但奉太郎甚麼都聽不進去。

過了些時日，當實乃梨在放學時到校門找奉太郎希望和好時，卻看到奉太郎已有了新歡千反田愛瑠，「就讓誤會埋葬一切吧」傷心透頂的實乃梨開始策劃一場名為誤會的報復。

實乃梨以和好為由相約奉太郎到一家在一家愛情賓館附近的咖啡廳，那裡是千反田補習後回家時的必經之路，實乃梨就在千反田走到這裡時，在愛情賓館前撁起奉太郎的手，看到這情境的千反田立即回頭離開，實乃梨也揚長而去，留下陷入混亂之中的奉太郎……

實乃梨將所有有關奉太郎的物品，連同對他的愛與回憶一起埋莽在樹下。

全劇最精彩之處在於折木奉太郎和千反田愛瑠的鏡頭是出自動畫《冰菓》的，而櫛枝實乃梨、高須龍兒和川嶋亞美是出自《TIGER×DRAGON！》，這AMV將他們出場的鏡頭接成一個新的故事了ww 當中還有用到其他動畫素材，詳見下面的資訊。

　影片作者：你看见我的id了 (9137MX)

　動畫素材：Hyouka

　　　　　　Toradora!

　　　　　　White Album 2

　　　　　　Gochuumon wa Usagi Desu ka

　　　　　　Tokyo Ghoul

　　　　　　Nerawarta Gakuen

　　　　　　Kimi no Todoke Movie

　　　　　　Mirai Nikki

　　　　　　Kyoukai no Kanata

　　　　　　Haruhi Suzumiya no Shoushitsu

　　　　　　C3

　　　　　　Toaru Kagaku no Railgun

　　　　　　Tokyo Ravens

　　　　　　Mahou Shoujo Madoka Magica

　　　　　　HoneyComb

　　　　　　Kami-sama no Inai Nichiyoubi

　　　　　　Fate/Zero
　　　歌曲：Sakura
　　　歌手：Che'Nelle
中英文歌詞：

[聽歌學英文]Che'Nelle - Sakura (中英歌詞對照)
 

[聽歌學英文] Che'Nelle - Sakura (中英歌詞對照)

　　　歌曲：Sakura
　　　歌手：Che'Nelle (香奈兒)
　　　翻譯：尼特(重頭上路)
中英文歌詞：

Sakura when I see it all hit the ground My heart gets weak

當櫻花散落在我眼前　我的心變得如此脆弱

'Cause that dream that you and I had made   Is still so clear in me

因為你和我一起描繪的夢想在我心中依然清晰

And I wonder if that day will come    Where we could make it real

而我想知道如果能夢想成真　我們會在哪裡實現它

Baby will I ever see you   Sakura will I breathe again

親愛的我還能不能再見到你　櫻花　我能重新振作嗎？

I keep imagining you in front of me    Everywhere I go, I find.   

我一直想像你在我到過、找過的地方出現在我眼前

Myself back in time with you Can't help remembering

我回到了與你共渡的那些時光　情不自禁地想起(你)

And I keep looking out in my window   Hoping you would come home

並且一直望著窗外　希望你能回來

Even though we said it was over   I can still hear your voice

即使我們已經分手　我依然聽得到你的聲音

I try to tell you that I'm doing alright   Even though my heart is feeling so tight

我試著想告訴你我現在過得很好　即使我感到如此揪心

But I'm feeling so alone in this

但這樣讓我感到很孤單

And life's not right without you

沒有你的生活總是少了點什麼

Each day it gets harder and    I wish that I could say I love you

每一天都過的更加的痛苦　我多希望能再對你說我愛你

All over again

一遍又一遍

Can't you see   What we used to be

你難道不曾想起  我們昔日的時光嗎？

Sakura when I see it all hit the ground    My heart gets weak

當櫻花散落在我眼前　我的心變得如此脆弱

'Cause that dream that you and I had made   Is still so clear in me

因為你和我一起描繪的夢想在我心中依然清晰

And I wonder if that day will come    Where we could make it real

而我想知道如果能夢想成真　我們會在哪裡實現它

Baby will I ever see you   Sakura will I breathe again

親愛的我還能不能再見到你　櫻花　我能重新振作嗎？

Getting over you I couldn't do

你在我心中難以忘懷

Lying to myself I can't   Keep living like this never happened

我無法對自己撒謊　裝作什麼都沒有發生一樣繼續生活

Can't get it out my mind

無法忘記這一切

Will we ever be back in love again

我們會否重新相愛

Faith is all I have and now

信念是我的所有

As I watch another season go  What am I waiting for

當我看著又一個季節過去　我究竟在等待什麼

I try to tell you that I'm doing alright   Even though my heart is feeling so tight

我試著想告訴你我現在過得很好　即使我感到如此揪心

But I'm feeling so alone in this

但這樣讓我感到很孤單

And life's not right without you

沒有你的生活總是少了點什麼

Each day it gets harder and    I wish that I could say I love you

每一天都過的更加的痛苦　我多希望能再對你說我愛你

All over again

一遍又一遍

Can't you see   What we used to be

你難道不曾想起  我們昔日的時光嗎？

Sakura when I see it all hit the ground    My heart gets weak

當櫻花散落在我眼前　我的心變得如此脆弱

'Cause that dream that you and I had made   Is still so clear in me

因為你和我一起描繪的夢想在我心中依然清晰

And I wonder if that day will come    Where we could make it real

而我想知道如果能夢想成真　我們會在哪裡實現它

Baby will I ever see you   Sakura will I breathe again

親愛的我還能不能再見到你　櫻花　我能重新振作嗎？